(1)当t=2时,AD=2OA=2×2.5×2=10,BE=1×2=2,AE=AB-BE=12-2=10,
则AE=AD,即点D与点E重合,如图1,
∵EF⊥OD,且EF经过OD的外端D(E),
∴⊙O与EF相切.
(2)当t>2时,如图2,
由题可得:AD=2OA=2×2.5t=5t,BE=t,AE=AB-BE=12-t,
则DE=AD-AE=5t-(12-t)=6t-12.
∵EF⊥AD,∠EAF=45°,
∴∠EFA=45°=∠EAF.
∴EF=EA=12-t.
∵S
△DEF=
×DE×EF,
∴
×(6t-12)×(12-t)=48.
整理得:t
2-14t+40=0,
解得:t
1=4,t
2=10.
∴t的值为4或10.
(3)①当0<t<2时,如图3,
则有EF=AE=AB-BE=12-t,AD=5t,DE=AE-AD=(12-t)-5t=12-6t.
∴S
△DEF=
×DE×EF=
×(12-6t)×(12-t)=3t
2-42t+72
=3(t-7)
2-75.
∵3>0,
∴t<7时,S
△DEF随着t的增大而减小.
∵当t=0时,S
△DEF=72,当t=2时,S
△DEF=0,
∴0<S
△DEF<72.
∴S
△DEF取不到最大值.
②当t=2时,点D与点E重合,
所以△DEF不存在,故舍去.
③当2<t≤12时,如图2,
同理可得:S
△DEF=
×(6t-12)×(12-t)=-3t
2+42t-72
=-3(t-7)
2+75.
∵-3<0,2<7≤12,
∴当t=7时,S
△DEF取最大值,最大值为75.
综上所述:当t=7时,△DEF的面积取到最大值.