如何把数组拉伸成正态分布

Question

如题所述

Answer 1

分布数据：
X’=lgX
当原始数据中有小值及零时，亦可取X’=lg（X+1）
还可根据需要选用X’=lg（X+k）或X’=lg（k-X）
对数变换常用于（1）使服从对数正态分布的数据正态化。如环境中某些污染物的分布，人体中某些微量元素的分布等，可用对数正态分布改善其正态性。（2）使数据达到方差齐性，特别是各样本的标准差与均数成比例或变异系数CV接近于一个常数时。
2、平方根变换 即将原始数据X的平方根作为新的分布数据。
X’=sqrt（X）
平方根变换常用于：1）使服从Poission分布的计数资料或轻度偏态资料正态化，可用平方根变换使其正态化。2）当各样本的方差与均数呈正相关时，可使资料达到方差齐性。
3、倒数变换 即将原始数据X的倒数作为新的分析数据。
X’=1/X
常用于资料两端波动较大的资料，可使极端值的影响减小。
4、平方根反正旋变换 即将原始数据X的平方根反正玄值做为新的分析数据。
X’=sin-1sqrt（X）
常用于服从二项分布的率或百分比的资料。一般认为等总体率较小如＜30%时或较大（如＞70%时），偏离正态较为明显，通过样本率的平方根反正玄变换，可使资料接近正态分布，达到方差齐性的要求。
5. 计量经济学中常用的BOX-COX变换

6.在SPSS中：
在转换-计算变量里面点进去，就可以把一个变量进行各种变换，就和计算器类似
不过最好的方法是把数据标准化，
分析——描述统计——描述，有个选项是将标准化得分另存为变量
这样你的变量都符合正态性了

或者在SPSS上的操作方法：工具栏transform-Rank cases，将左边你要进行正态化的变量拖入右边“变量”框中；点选rank types对话窗，选中normal scores选项（共四种计算方法，系统默认的是bloom计算方法，可根据你的需要进行改进），点击continue，ok。
spss会在数据观察表中生成两列新变量，其中N总分变量就是你想要的正态化结果。欢迎来参加《小白爱上SPSS》课程

小白爱上SPSS
这是加餐课程：如何将非正态分布数据转换为正态分布。手把手教你SPSS操作

在前面我们学过的参数检验中，比如两独立样本T检验和单因素方差分析中，有一个重要前提条件是连续型变量要满足正态分布。

如果遇到非正态分布数据怎么办？一种建议是选用合适的非参数检验方法，比如两样本秩和检验；另一种是对原始进行转换使得其满足正态分布特性。

这一讲，我们来讲解下如何转换？

一、正负偏态的转换方法

正态分布转换方法有很多，比如：对数变换、平方根变换、平方根反正弦变换、平方变换、倒数变换、Box-Cox变换、正态得分法。

这里选择几种常用方法讲解，起示范作用。数据转换分成两种情况，一种是正偏态数据，另一种是负偏态数据，每种又分成轻度、中度和严重三种情况。

（一）正偏态数据转换方法

1、轻度正偏态分布

当偏度值>0，偏度值为其标准误差的2-3倍，即Z-score=2~3，此时认为资料分布呈现轻度的正偏态分布，故考虑对变量x取根号开平方的方法来进行转换。

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = SQRT(x)

（SQRT为开平方根Square Root缩写）

2、中度正偏态分布

当偏度值>0，偏度值为其标准误差的3倍以上时，即Z-score>3，此时认为资料分布呈现中度的正偏态分布，可以考虑对变量x取对数来进行转换。可以取自然对数（ln）或以10为底的对数（log10）。

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = LN(x)

COMPUTE x_new = LG10(x)

注意：LG10的纠正力度较强，有时甚至会矫枉过正，将正偏态转换为负偏态，因此在进行正态转换后一定要对该变量再次进行正态性检验。

3、重度正偏态分布

对于两端波动比较大的数据资料，极端值可能产生较大的影响，此时可以考虑取倒数的方法来进行转换。

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = 1/x

若你不太熟悉SPSS语法编辑窗口，则可通过SPSS中“转换”—“计算变量”实现，找到sqrt, ln, lg10等函数。

注意：根号下要求数据均为非负数（即≥0），对数要求数据均为正数（即>0）；取倒数要求分母不为0, 如果变量x中出现上述情况，则需要先将其进行一定的转换，如x+K或K-x，再对其取根号、对数或倒数。其中K为一个常数，可以根据需要进行赋值，例如赋值为1，或取数据的最小值、最大值等。

（二）负偏态数据转换方法

对于负偏态分布的数据资料，首先需要将负偏态资料进行反转，转换为正偏态，然后再参考正偏态分布资料的转换方法进行转换。

反转的方法：首先找出该数据系列的最大值max，用最大值+1，再减去每个数值。

1、轻度负偏态分布

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = SQRT(max+1-x)

2、中度负偏态分布

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = LN(max+1-x)

COMPUTE x_new = LG10(max+1-x)

3、重度负偏态分布

SPSS语句如下：

COMPUTE x_new = 1/(max+1-x)

二、实战案例

下面是42名员工的月收入，试检验其正态性。若不服从正态性，请将其转化为正态分布（关注本公众号，回复【小白数据】即可下载原始数据 ）。

三、正态性检验

这里主要通过SPSS的探索性描述统计方法来考察收入的分布情况。

（一）操作如下
点击分析——描述统计——探索

将“收入”选入因变量列表，点击 图 --勾选直方图--勾选含检验的正态图--继续--确定。

（二）结果解读

1.描述看峰度偏度

2.计算偏度系数

3.计算峰度系数

由以上结果可知，偏度系数的绝对值均大于1.96，可以认为该组样本数据不服从符合正态分布。

4.看正态性检验结果

5.结果解读：

当数据量≤50时，倾向于以夏皮洛-威尔克（S-W）检验结果为准；

当数据量>50时，倾向以柯尔莫戈洛夫-斯米诺夫（K-S）检验结果为准；当数据量>5000时，SPSS只会显示K-S检验结果。

本例中，我们检验40名员工收入的正态分布情况，由上表显示，样本量（可参考自由度那一列数值）小于50，故以夏皮洛-威尔克（S-W）检验结果为准。检验的p值（即显著性那一列）为0.000，小于0.05，说明40名员工收入不符合正态分布，故认为收入不满足正态性。

四、SPSS：对数转换法

（一）选择检验方法和操作步骤

由上可知，因本案例中偏度值<0，为负偏态，偏度值为其标准误差的3倍以上，故考虑对变量x取对数来进行转换。对于负偏态分布的数据资料，首先需要将负偏态资料进行反转，转换为正偏态，然后再参考正偏态分布资料的转换方法进行转换。