解：微分方程为2dx/dt=5dy/dt+4y-x，3dx/dt=4dy/dt+2x-y；化为2x'+x-(5y'+4y)=0，3x'-2x-(4y'-y)=0，设微分方程的特征值为p，特征方程为(2p+1)(-4p+1)-(3p-2)(-5p-4)=0，(2p+1)(4p-1)-(3p-2)(5p+4)=0，8p²+2p-1-(15p²+2p-8)=0，得：p=±1，微分方程的特征根为eᵗ、e⁻ᵗ；设x=aeᵗ+be⁻ᵗ，y=ceᵗ+de⁻ᵗ，有2(aeᵗ+be⁻ᵗ)'+aeᵗ+be⁻ᵗ=5(ceᵗ+de⁻ᵗ)'+4(ceᵗ+de⁻ᵗ)，得：a=3c，b=d，微分方程的通解为x=3ceᵗ+be⁻ᵗ，y=ceᵗ+be⁻ᵗ(b、c为任意常数)
解常微分方程
微分方程化为2x'=5y'+4y-x，3x'=4y'+2x-y；化为
3(5y'+4y-x)=2(4y'+2x-y)，15y'+12y-3x=8y'+4x-2y，x=y'+2y，有2(y'+2y)'=5y'+4y-(y'+2y)，2y"+4y'=4y'+2y，y"=y，微分方程组的特解为y=aeᵗ+be⁻ᵗ(a、b为任意常数)，x=3aeᵗ+be⁻ᵗ
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第1个回答 2022-12-01
解方程组得dx/dt=2x-3y,①
.....................dy/dt=x-2y.②
特征方程为2阶行列式
2-k -3
1 -2-k
=-4+k^2+3
=k^2-1=0,
k=土1，
下面求特解:x1=a1e^t,y1=b1e^t,③
.....................x2=a2e^(-t),y2=b2e^(-t),④
把③代入①/e^t,得a1=2a1-3b1,a1=3b1,b1为任意数c1。
同理，把④代入②，得-b2=a2-2b2,a2=b2,b2为任意数c2。
所以x=3c1e^t+c2e^(-t),y=c1e^t+c2e^(-t).
.....................dy/dt=x-2y.②
特征方程为2阶行列式
2-k -3
1 -2-k
=-4+k^2+3
=k^2-1=0,
k=土1，
下面求特解:x1=a1e^t,y1=b1e^t,③
.....................x2=a2e^(-t),y2=b2e^(-t),④
把③代入①/e^t,得a1=2a1-3b1,a1=3b1,b1为任意数c1。
同理，把④代入②，得-b2=a2-2b2,a2=b2,b2为任意数c2。
所以x=3c1e^t+c2e^(-t),y=c1e^t+c2e^(-t).
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