高数零点问题

Question

高数零点问题题目如图，当条件f(1)=1改成3∫(1/3)(0)f(x)dx=f(1)时要如何证明

Answer 1

证：设f(x)=2^x-x2-1。 假设f(x)=0有4个实根，则由洛尔定理知f`(x)=0至少有3个实根， 同理f``(x)=0至少有2个实根。而f``(x)=(2^x)ln2-2=0只有1个实根，矛盾！ 故f(x)=0至多只有3个实根。 易知f(0)=f(1)=0。 f(4)=-1＜0，f(5)=6＞0，由零点定理知，至少存在一个ξ∈(4,5)，使得f(ξ)=0，即f(x)=0至少有3个实根。 综上，方程2^x-x2-1=0有且仅有三个不等的实根。