一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对

Question

一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每-层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼）．

Answer 1

由题意易知，这32个人恰好是第2层至第33层各住1人，对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数．事实上，设住s层的人乘电梯，而住在t层的人直接上楼，s＜t，交换两人的上楼方式，其余的人不变，则不满意的总分减少． 设电梯停在第x层，在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼，那么不满意的总分为： s=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]， = 3×(33-x)(34-x) 2 + 3y(y+1) 2 + (x-y-2)(x-y-1) 2 ， =2x 2 -（y+102）x+2y 2 +3y+1684， =2（x- y+102 4 ） 2 + 1 8 （15y 2 -180y+3068）， =2（x- y+102 4 ） 2 + 15 8 （y-6） 2 +316≥316． 又当x=27，y=6时，s=316， 故当电梯停在第27层时，不满意的总分最小，最小值为316．