如何求∫(e^ x) dx?

Question

如题所述

Answer 1

这个积分可以通过变量代换法求出来。
首先，将被积函数中的 e^x 用 u 表示：u = e^x，因此有 x = ln u，所以原式可变为：
∫ (ln u / u) du
然后，对被积函数进行分部积分，设：
u = ln u, dv = (1/u) du
那么：
du = (1/u) du, v = ln u
根据分部积分公式，可以得到：
∫ (ln u / u) du = (ln u)(ln u) - ∫ (1/u)(ln u) du
= (ln u)^2 - ∫ ln u d(ln u)
= (ln u)^2 - 1/2 * (ln u)^2 + C
其中，C 为常数。将 u=e^x 代入上式，最终结果为：
∫ (x^2 / e^x) dx = (ln(e^x))^2 - 1/2 * (ln(e^x))^2 + C
= x^2 - x + C
其中，C 是积分常数。
所以，积分的结果为 x^2 - x + C。