什么是圆内接四边形对角线垂直定理？

Question

如题所述

Answer 1

圆内接四边形对角线垂直定理如下：

圆内接对角线互相垂直的四边形的一边中点与对角线交点的连线垂直于这条边的对边，反过来，过对角线交点作一边垂线，其反向延长线交这边的对边于中点。

拓展知识：

讲到《圆》,发现许多难题都以“婆氏四边形”为背景，若能识别其结构并熟知其性质定理，则定能游刃有余于“对角线互相垂直的圆内接四边形”这一类题目之间.现在就这一类特殊四边形的两个基本性质，以便日后之用：

1、定理1：

对角线互相垂直的圆内接四边形，它的对角线交点和其一边的中点所确定的直线垂直于这条边的对边。已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且AC⊥BD,垂足为E,F为AD的中点，连接EF,求证：EF⊥BC。

证明：延长FE交BC于点G，依题意知，EF为Rt△AED的中线，故△EFD为等腰三角形，从而有∠1=∠FED=∠FDE，由同弧CD得∠2=∠CAD，在Rt△AED中，有∠FDE+∠CAD=90°,即∠1+∠2=90°，从而∠BGF=90°,故EF⊥BC。

此定理是由古印度著名数学家婆罗摩笈多发现的，他特别注意对圆内接四边形的一些性质的研究，后人为了纪念他对当时数学的伟大贡献，便以他的名字命名上述定理，这就是婆罗摩笈多定理(简称“婆氏定理”)。此定理可简记为：中点→垂直。

它的逆定理是：圆内接四边形ABCD中，如果两条对角线AC与BD互相垂真，E是它们的交点，那么△BEC的高线EG的反向延长线是△AED的高。此定理可简记为：垂直→中点。

2、定理2：

对角线互相垂直的圆内接四边形，圆心到一边的距离等于这条边的对边的一半。对角线互相垂直的圆内接四边形，其中一组对边的平方和等于外接圆直径的平方。