过圆锥曲线一定点作两条夹角一定的直线与曲线有两个交点,这两交点所构成的直线过定点吗？

Question

结论性，极点极线有较易解释吗

Answer 1

解:设圆锥曲线为抛物线，且抛物线的方程为y=ax²

再设曲线上的定点为(u，au²)，过该顶点的两条直线斜率为p、q，直线方程为y-au²=p(x-u)与y-au²=q(x-u)，得方程组为

y=ax²与y=px-pu+au²，y=ax²与y=qx-qu+au²

有ax²=px-pu+au²，ax²=qx-qu+au²，化为

(x-u)(ax+au-p)=0，(x-u)(ax+au-q)=0，得:

x=u，p/a-u或q/a-u，y=au²，(p-au)²/a或

(q-au)²/a ∴另外两点为(p/a-u，(p-au)²/a)与(q/a-u，(q-au)²/a) ∴两点构成的直线的方程为y-(p-au)²/a=[(q-au)²/a-(p-au)²/a]/[(q/a-u)-(p/a-u)][x-(p/a-u)]，化为y-(p-au)²/a=a[(p/a-u)+(q/a-u)][x-(p/a-u)]，y=(p+q-2au)x-a(q/a-u)(p/a-u)，y=(p+q-2au)x-(pq-au(p+q)+a²u²)/a ∴若直线恒过一点(b，c)，则(p+q)b-pq/a+u(p+q)为常数 ∴设常数为h，则有(p+q)(b+u)=pq/a+h

∵最开始的两条直线的夹角为定值 ∴有

(p-q)/(1+pq)=k(k为常数，固定值，夹角的正切值) ∴两条直线有固定夹角不会使另外一条直线有固定点

当两条直线的倾斜角的度数和为固定值时，即(p+q)/(1-pq)=k(k为常数，固定值)，此时(p+q)=k-kpq，有a(b+u)=-1/k，h=(b+u)k，这个时候直线过固定点

解方程组

请参考，希望对你有帮助