二重积分求的是体积，为啥可以利用对称性来求？

Question

如题所述

Answer 1

下面的例子用对称性的方法来求圆球的体积。设球心在原点（0，0，0），球的半径为R。球面方程可写为：
x²+y²+z²=R²
...
(1)
球的体积公式可用下面的二重积分表示：
∫∫zdxdy
...
(2)
(2)中的zdxdy是一个微小的体积元。其中z是这个微小体积的高，dxdy是这个微小体积的底面积。由(1)得：
z=√（R²-x²-y²）
....
(3)
将(3)代入（2）得：
∫∫√（R²-x²-y²）dxdy
...
(4)
对(4)式积分后可得到此球在XY平面以上半个球的体积，其积分域是x²+y²≤R²的圆形区域。根据球的对称性可知，XY，XZ，YZ三个平面将此球分割成8个相等的体积。我们只要对其中一个体积求积分乘以8就可以了。比如，我们可在由x˃0,y˃0和x²+y²≤R²围城的扇形区域上积分，然后乘以8即可。同理，也可在x<0,y˃0和x²+y²≤R²围城的扇形区域，或x<0,y<0和x²+y²≤R²围城的扇形区域，或x˃0,y<0和x²+y²≤R²围城的扇形区域积分。根据球形对称性可知，在这些积分区域，z的形状都是一样的。
这里所谓对称性，是指函数z的对称性。

Answer 2

楼主你把对被积函数的对称性和积分区域的对称性搞混了……
偶倍奇零对称性永远都是针对被积函数的结论……
被积函数关于x轴对称，我当然可以把原二重积分化为关于变量y的二重积分的两倍啊。被积函数就是二重积分里面的“高”嘛，人家又没说是积分区域关于谁谁谁对称被积函数就咋咋咋样了……回去好好看下你的高数书。

Answer 3

您好，步骤如图所示：
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