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Question

条件:在如下左图,A、B是直线L同旁的两个定点
问题:在直线L上确定一点P，使PA+PB的值最小
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是_______
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

Answer 1

(1):根号五，
（2）：过点C作关于OB的垂线C′，连接AC′，
由题意得：角COB=角AOB-角AOC=30°，
所以∠C′OB=∠COB=30°，
所以∠AOC′=∠AOC+∠COB+∠BOC′=120°，
因为∠AOC=60°，OA,OC′分别是圆O的半径，
所以OC是等腰△AOC′的垂直平分线，
所以0.5AC′=sin60°×OA=根号3，
所以AC′=2倍根号3，
即PA+PC的最小值是2倍根号3，

（3）过点P分别作OA,OB的垂线P′,P′′,
连接P′P′′分别交OA,OB于Q、R,
连接QP,RP,
这时△PQR的周长最小且等于P′P′′（不需要证明），
连接OP′,OP′′,
易证∠P′OP′′=90°,OP′=OP′′=10,
所以在Rt△P′OP′′中，P′P′′=10倍根号2，
所以△PQR的最小值是10倍根号2。

Answer 2

1.PB+PE=ED=根号5

2.作点C关于OB的对称点C′,连接AC′交OB于点P，则PA+PC=AC′的值最小,
OA=OC′,OC是等腰△AOC′的垂直平分线,AC′=2倍根号3

3.作点P关于OB的对称点M，作点P关于OA的对称点N,连接MN交OB,OA于点R,Q，则△PQR的周长=MN的值最小,∠MON=90°,OM=ON=10,MN=10倍根号2