一、芝诺的悖论 芝诺于公元前488年生于意大利,是著名哲学家巴门尼德 (Parmenides)的弟子。巴门尼德学派主张客观存在是单一的、静止的、不变的,人们感知到的多个事物以及它的们变化与运动,其实不过是一种主观错觉。 芝诺是天才数学家,为了驳斥老师的论敌,他使用数学手段来证明主观感受到的“多个”(multiplicity)和“运动”的观念在逻辑上自相矛盾。 芝诺的基本思路是:空间和时间的基本概念,都可以抽象为数学上的“线”以及“点”的概念。如所周知,几何学的“线段”就是“多个点的集合”。从此出发,芝诺提出了两组著名悖论。第一组悖论包括两个论点,旨在证明所谓“多个”的概念并不成立: 1、一条线段可以被二等分无穷多次,永远也不会被分割完毕。 2、如果认为一条线段有多个点组成,必然导致自相矛盾的结论。因为线段的长度有限,所以含有的点的数目必然有限。但因线段同时又是可以无限分割的,因此,它必然含有无穷多的点。因此,假设一条线段由多个点组成是自相矛盾的。 第二组悖论旨在证明运动的不可能。共有四条,第四条需要画图讲解,十分麻烦,在此略去,有兴趣者可以去看英文原文(见文末联结)。 1、一个物体从空间的一点运动到另一点,其实也就是从线段的一端到达另一端,那就意味着该物体必须通过空间中的无穷多的点,而在有限的时间内,物体不可能通过空间中无穷多的点。 2、飞毛腿(Achilles,希腊神话英雄,为冥神之子)和乌龟赛跑,却永远无法赶上乌龟。假定他的速度是乌龟的100倍。乌龟先爬出一百米,当他跑到100米时,乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时,乌龟又往前爬了一厘米,当他跑完一厘米时,乌龟又往前爬了1/100厘米……。就这样,尽管二者距离越来越短,却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore,飞毛腿永远赶不上乌龟。 3、飞箭不动。一枝射出的箭,在任何一个给定时刻,总是占据了一个和它等长的空间,因此在该时刻是固定不动的,所以,它在所有的时刻都是静止的。无穷多的静止位置的集合不可能是运动。 二、如何理解芝诺悖论 芝诺悖论貌似战国时代公孙龙等人“白马非马”、“坚白石”之类的诡辩,但本质完全不同,不但有严格的数学论证(咱们的老祖宗连世上有论证这档子事都不知道,从来是“论而不证),而且指出了逻辑思考的“天尽头”,也就是人类理性思维的固有局限。公元前5世纪的古人就有这种洞察力,当真是让人咋舌。 这些悖论的实质精神是:有限的整体,不可能由无限数量的部份组成,而这正是假定“整体由部份组成”必然面临的逻辑困境。如果承认整体由部份组成,则它只可能有两种组成方式:或者由不可分的单元组成,或者无限可分。如果是前者,则那单元本身必然具有一定数量,倘如此,则我们立刻面对着明显的逻辑矛盾:世上哪有什么数量是不可分的?但如果整体无限可分,则我们又面临另一矛盾:无限数量的成份加起来,竟然会等于一个有限的总量! 这问题其实具有普遍意义,不但适用于直线那种一维结构,同样适用于面、体等**结构──您总不会认为一个香蕉是由无限多的部份组成的吧?但您若不承认这点,立刻就会创造出个“不可切割的香蕉单元”出来,那同样不可思议。 悖论本身还质疑了数学和物理上的最基本观念:“连续性”。那“飞箭不动”就是如此。这里换用子弹出膛更说明问题:假设击发为时间零点,您说在该时点,那子弹究竟是静止的,还是运动的?如果算不动,那从哪个时点算起来,它才是运动的?您永远也找不到一个可以分开“运动”和“静止”的时点来。“运动”和“静止”似乎是两回事,可在实际中却无法分开! 三、康德、休谟和黑格尔的解答 芝诺的悖论就像斯芬克思的千古之谜,对后世的天才们构成了严峻的智力挑战,好几个大哲学家都尝试解决这些难题。 康德认为,这些矛盾其实是人类时空观念中固有的,因此,无论时间还是空间其实都不是真实的。时间和空间并非事物的属性,而是我们感知事物方式的属性。它们不过是我们感知的形式而已,是我们的头脑把时间和空间强加给了客观世界,而不是客观世界把时间和空间强加给咱们的大脑。 从芝诺悖论中,康德看到了对“无穷”的理解超出了人类的理性能力。只要我们试图去思考这一问题,无论是“无穷大”还是“无穷小”,都会遇上不可调和的逻辑矛盾。 另一大哲学家休谟则否认时间和空间的无限可分性,他认为两者都是由有限的不可分的单元组成的,犹如魔方由27块木块组成一般。但上文已经说过:那单元本身必有一定数量,而这种本身既具有一定数量、却又是不可分割的单元是无从想像的。 黑格尔乃是马克思的鼻祖,他自然只会用辩证法给出答案来。他认为,芝诺的悖论其实反映了理性本质上的矛盾性。一切思想和推理,都含有内在的矛盾,矛盾的两方面首先是互相否定的,但在更高层次上却得到统一。 例如该悖论指出的“无限可分性的矛盾”,其实可在人们对“数量”的更高层次的认识中得到统一。人们对“数量”的认识含有两个因素,也就是“单一”和“多个”。“数量”指的就是由多个组成的一个,或一个中的多个。当我们考虑任何一定数量的事物时,例如一堆麦子,那首先指的是“一”,也就是整体。其次,那也是指“多个”。因为它是由许多部份组成的。作为“一”,它是连续的;作为“多个”,它们是间断的。对数量的真正认识,既不是脱离了“多个”的“一”,也不是脱离了“一”的“多个”,而是两者的“合成”(synthesis ),也就是“一”包括了的“多个”。 类似地,当我们考虑一条线段时,首先只会想到它是一个整体。此时,它就是连续的、不可分的单元。接下来我们就会把它当成“多个”来考虑,此时它就分解为多个组成部份,每个部份又可以看成是一个整体,因此是不可分的单元,但接下来我们又把该单元看成是多个,于是它又分解为多个组分……这过程可以无限重复下去,而正是这种认识论导致芝诺悖论产生。 但这种认识论是错误的,因为它使用了错误抽象,也就是先把“多个”看成是和“一”有本质区别的东西,接着又把“一”看成和“多个”有本质区别。如果坚持认定线段只是“一”,不是“多个”,必然导致“不可分单元”说;反过来,如果把线段只看成是“多个”,则必然导致“无穷可分说”。但真实情况是它既不只是“一”也不只是“多个”,而是“包含多个的一”,也就是说,它是一个“量”(quantity)。矛盾的两方面在某个意义上都是真实的,因为两者都是真实的因素之一,但也同时是假的,因为它们只各自代表了一部份真实。 四、现代解答 下面这段文字是我从原文中直译的,因为是票友,翻译得非常蹩脚,诸位凑合著看吧。 康德、休谟和黑格尔的解答对其后的思想家们具有很大的启发与刺激作用,但最终并未被接受。对应该怎样修正传统观念才能逃出芝诺发现的矛盾,数学家、物理学家和哲学家们现已达成共识。时间、空间和运动的概念,乃至直线、数、测量和集合的数学概念,都得作根本上的修正。 芝诺所使用的整数必须以现代的实数概念来代替。新的“一维连续”概念不再是芝诺想像中的那个,而是按其自然序列(递减)排列的实数的标准模型。这新的直线概念,便是如今科学家们用以考虑空间和时段的基础。直线不再如芝诺假设的那样,是点的集合,而是不可计量的无穷多的点单元的集合。只有这样才能理解为何由零维组成的点可以构成**结构诸如一维的直线和二维的平面,否则便要遇到为芝诺指出的那个无限多的零加起来还是零的矛盾。此外,点在直线上排列得非常紧密,没有哪两个点可以紧挨在一起。在两个点之间总有第三个、第四个、第五个……点。点的无穷性也远比芝诺想像的高。实数的不可计量的无限性(因而是空间点和时点的不可数的无限性)也比整数的可计量的无限性高得多。因此,无限多的数加在一起可以得出有限的总数来。 在作出这些修正之后,数学家和科学家们现在可以说,芝诺的全部论点都建筑在错误假设上的。在现代数学和科学中,再也不可能出现芝诺那样的悖论。飞毛腿能赶上乌龟,飞箭确实在运动,也可以在有限的时间内通过空间中无限多的位置,这一切都没有矛盾。 解决芝诺悖论的功劳不能算在某一个人的头上。从牛顿、莱布尼兹建立微积分,直到20世纪初叶Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Einstein, and Lebesque的数学研究,都为此作出了实质贡献。从哲学上来说,唯一最伟大的贡献是,以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展,取代了对人类自由想象力的依赖。 五、郁郁乎文哉,吾从康 前节介绍的当代科学家们的解答,老芦读来觉得不是那么信服,特别是“在现代数学和科学中,再也不可能出现芝诺那样的悖论”的革命乐观主义精神,以及“以靠创造逻辑上自洽的数学概念来推动定量科学的发展,取代了对人类自由想象力的依赖”的唯物主义精神,似乎有点过于武断。 芝诺悖论我是在高中时代看到的,此后断断续续地想了几十年。有的悖论倒容易发现破绽,例如那“龟兔赛跑”就是这样。从微积分上看那似乎确实不错,但仔细一想破绽就出来了: “假定他的速度是乌龟的100倍。乌龟先爬出一百米,当他跑到100米时,乌龟又往前爬了一米。当他跑完一米时,乌龟又往前爬了一厘米,当他跑完一厘米时,乌龟又往前爬了1/100厘米……。就这样,尽管二者距离越来越短,却是无限趋近于零而不等于零的无穷小量。Therefore,飞毛腿永远赶不上乌龟。” 这里隐含的前提,其实是把时间的度量缩得越来越小,飞毛腿先是花一定时间(假定是10分钟吧)跑完100米,此后却花了1/10分钟去跑那1米,接着又花1/1000分钟去跑那1厘米,接着又花1/100000分钟去跑那1/100厘米……因此,他花的时间其实是个无穷收敛的变量,以10分钟为极限值,其总和也就大致等于10分钟,换言之,在飞毛腿快要追上乌龟时,时间却突然停滞下来了,这样当然永远追不上乌龟。这根本就不符合实际。这点我倒是在上高三时就想明白了。 难的还是那“无穷多的部份不可能组成有限的整体”和“飞箭不动”的悖论。我想来想去,觉得还是康德说的有道理。 所谓时间和空间,确实是人的主观感觉,根本说不上是什么物质世界的客观属性。例如“同时性”这个观念,完全就是我们的本能感觉。但爱因斯坦证明了,时间其实是相对的。所谓“同时性”只适用于同一系统。在不同运动系统中,时间的流逝速度根本就不一样。因此,我在国外过了一分钟,国内也同样过了一分钟,但在某个星球上看起来,那可能就是一小时。 最成问题的还是这“连续性”概念。例如上文说的那香蕉吧,表面是连续的,其实根本就不连续。不但分子之间有空间,分子之内也有空间,原子也是这样。因此,休谟说的其实很有道理:香蕉就是由数量有限的基本单元组成的。不但组成香蕉的分子量有限,原子量有限,就连基本粒子数量也肯定有限。最后我们可能碰到一个具有量级、但再也无法分割的粒子。这完全是可能的,虽然从数学上看来难以思议。 我想,这就是芝诺悖论的哲学意义:他是历史上指出理性的局限的第一人。所有的问题,其实都是用数学方式来思考宇宙引出来的。但数学不是自然科学,只不过是人类内在的理性思维能力的自由发挥而已。 凡是学过中学数学的同志都该知道,数学模型其实根本不存在于自然界中。例如几何的基本概念“点、线、面”都是所谓“理想模型”,“点”没有长度,“线”没有宽度,“面”没有厚度。如此模型,根本不存在于自然界之中,完全是数学家们自由想像出来的brain-child。但要进行数学研究,就非得使用这些纯粹的brain-child不可。点一旦有了长度,线一旦有了宽度,面一旦有了体积,则立刻就变成了具体的点、线、面,再不是抽象概念,再不能代表全世界的点、线、面了。 因此,数学思维的过程就是一个抽象过程,而这抽象的结果,必然是偏离客观真实,造出一堆客观世界没有的模型来,当人们反过来去用这些失真的模型去处理客观事物时,必然就要遇到芝诺悖论那样的困境,出现了“没有长度的‘点’却可以组成具有长度的‘线’”的悖论。这困境是人类的思维内在的缺陷,在我看来根本就无法解决。 康德有名言曰:“理性为自然立法”,说的就是这个道理。虚数的“发现”最能说明这一点。它的“发现”其实不过反映了人类要把某种运算进行到底的骡子脾气而已。在物理学中,它完全只是一种借用来的方便工具。 当然,面临困境,数学家和科学家们作了一代又一代的努力。例如上节译文就强调了“实数”,但我看那并不能解决什么问题,反倒制造出新的问题来。 所谓“实数”,大家都知道那就是“有理数”和“无理数”的集合。但什么是无理数,似乎根本就没个正面定义,只有“排除定义”,也就是“凡是不可用分数表达的数就是无理数”,也就是“数轴上凡是不是有理数的点都是无理数”,两者加在一起,就覆盖了整个数轴,可谓“算无遗策”。问题是,怎么确定和怎么计算无理数,似乎就没有个统一规律可循,与其说它的存在是表现了人类智力成就,莫如说反映了人类智力的局限。 再如“飞箭不动”的问题,那其实是对“瞬时速度”概念的质疑:在某个特定时点(也就是空间位点)上,飞箭不可能有什么“速度”,因为既然是速度,必须通过一段距离才谈得上。但上文已说过,“点”是没有长度的,哪还能谈什么距离和速度? 牛顿的解决办法,是把“点”的概念偷换为一个“无穷小”的长度,这无穷小长度再除以飞箭的飞越时间,便得出一个变量,其极限值便是该点的即时速度。这办法确实聪明之极,但在我看来,这并没有解决悖论。它只告诉你怎么取巧,去算出物体在某个空间位点的速度来,却回避了“没有距离就没有速度可言”的根本难题。 上举那个子弹出膛的例子就能说明这一点。即使用微积分,也无法从时间上准确区分物体从静止变为运动的“转折点”,就像在数轴上找不到一个绝对值最小的数一样。于是,我们便连区分“静止”和“运动”、“零”和“大于零”的界限都找不到。静止和运动这两种截然不同的状态,竟然会是一个连续的平滑的数学过程,而“无”和“有”之间也没有什么分界线。这实在是无法自圆其说。 最能说明问题的,还是高等数学中的“开区间”概念。例如1<X<3,这变量X代表的线段就是所谓“开区间”,它的特点是既有限又无限。说它有限,是其长度小于2 ;说它无限,是因为这线段根本没有终点,你永远也找不出它的最大值和最小值来。有趣的是,这个高等数学中的最基本概念,本身就是个悖论,然而就在这悖论上建立了高等数学的大厦! 据说芝诺的学生曾问他:老师,你知识如此渊博,怎么还老觉得自己很无知呢?芝诺在沙盘上画了一大一小两个圆圈,然后跟学生说,小圆内就是你们的知识,大圆内是我的知识,圆外的空间就是未知世界。因为我的圆比你们的大,周长就比你们的大,因此接触到的未知就更多。 在我看来,这就是人类的科学史和思想史。比起两千年前的古人来,咱们的圆圈大到不可比拟,但接触到的未知因而更多。而且,不管这圆圈变得多大,它将永远是一个冲不出去的围城。
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