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    • 设函数u(x，y，z)及矢量A=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)k的三个坐标函数都有二阶连续偏导数，证明

    如题所述

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    推荐答案   2023-04-22
    【答案】：rot(grad u)=rot(uxi+uyj+uzk)
    =(uzy-uyz)i+(uxz-uzx)j+(uyx-uxy)k．
    因函数u(x，y，z)有二阶连续偏导数，故有
    uyz=uzy，uxz=uzx，uyx=uxy
    因此有 rot(grad u)=0．$div(rot A)=div[(Ry-Qz)i+(Pz-Rx)j+(Qx-Py)k]
    =(Ryx-Qzx)+(Pzy-Rxy)+(Qxz-Pyz)．
    因函数P，Q，R均有二阶连续偏导数，故有
    Pzy=Pyz，Qxz=Qzx，Ryx=Rxy，
    因此有div(rot A)=0．
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