条件期望的性质

Question

如题所述

Answer 1

我们已经知道E( )是 的函数，现不妨假定有别的 的函数g( )可以作为对 的估计或预测，我们当然要求这种估计或预测的误差|要尽可能地小，但| |是随机变量，一般就要求它的平均值
E[ ]=min
但是绝对运算在数学上处理并不方便，回忆在数学分析中提到过的最小的二乘方法以及第二章中关于方差的讨论，读者能够想到，可以要求
E[ ] =min
如果 的密度函数为p(x,y)，就有
E[ ] =
=
由方差的性质( 3.74)，当g(y)=E( )时，能使
达到最小，从而当g(y)=E( )时也使E[ ] 到最小。所以，在已知(=y)发生的条件下，用E( )作为对 的估计或预测是最佳的，这时均方差E{[ ] |=y}达到最小，这里证明的是连续型的情形，对离散型也可以类似地证明这个结论。