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已知数列{an}的通项公式为an=pn2+qn(p、q为常数), (1)当p和q满足什么条件时,数列{an}是等差数列; (2)设bn=an+1－an,求证:对任意实数p、q,数列{bn}都是等差数列.

第1个回答 2019-07-17

(1)解:设数列{an}是等差数列,则an+1－an=［p(n+1)2+q(n+1)］－(pn2+qn)=2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以有2p=0,即p=0,q∈R.
(2)证明:因为an+1－an=［p(n+1)2+q(n+1)］－(pn2+qn)=2pn+p+q,an+2－an+1=2p(n+1)+p+q,
所以bn+1－bn=(an+2－an+1)－(an+1－an)=［2p(n+1)+p+q］－(2pn+p+q)=2p(常数).
所以数列{bn}是等差数列.
点评:等差数列定义的数学符号语言可表述为:在数列{an}中,若an+1－an=d(常数)对于任意的n∈N*都成立,则数列{an}为等差数列,与an+1－an=d(n∈N*)等价的式子还有an－an－1=d
(n≥2,n∈N*),an－1－an－2=d(n≥3,n∈N*),…,总之,只要能表示从差a2－a1开始,以及以后的差a3－a2,a4－a3,…都等于同一个常数即可.因此,证明数列{an}是否是等差数列,只需要证明以上等价表达式中其中之一成立即可.但an+2－an=d(n∈N*)成立,不能说明数列{an}为等差数列,只能说这个数列从第2项起(即去掉第一项后)是一等差数列.如果要说明数列{an}不是等差数列,那么只需说明某两个差am+1－am与an+1－an(m≠n)不相等(即不等同一个常数)即可,或者证明an+1－an是与n有关的表达式.

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