1、证明:∵CE是直角△ACB斜边上的中线
∴AE=CE=BE
∴∠A=∠ACE
又因为CD⊥AB,故∠B+∠BCD=90°,同时∠A+∠B=90°
∴∠A=∠BCD
∴∠ACE=∠BCD
∵CF为∠ACB的角平分线
∴∠ACF=∠BCF=45°
所以∠ACF-∠ACE=∠BCF-∠BCD
也就是:∠ECF=∠DCF
2、如图:
(1)在Rt△ADB中,∠ADB=90°
∵AD=BD
∴Rt△ABD为等腰直角三角形,且AB=√2AD
∴AD=AB/√2=√10/√2=√5。
(2)在Rt△BDE和Rt△ADC中,BE=AC(斜边相等)、AD=BD(一条直角边相等)
∴DE=DC
∴△BDE≌△ADC(SSS)
(3)△DMN为等腰直角三角形,∠MDN=90°。
证明:由DM为Rt△BDE斜边上的中线,故BM=DM,所以∠3=∠4。
同理对于Rt△ADC,有∠1=∠2
∵△BDE≌△ADC∴∠1=∠3
∴∠1=∠2=∠3=∠4
而∠4+∠5=90°
∴∠2+∠5=90°即∠MND=90°
同时由于DM为Rt△BDE斜边上的中线、DN为Rt△ADC斜边上的中线
∴DM=BE/2,DN=AC/2
又∵BE=AC
∴DM=DN
故△DMN为等腰直角三角形。