分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。
1. 不定积分与定积分：
不定积分： 不定积分是指对一个函数进行积分，得到的结果是该函数的一个原函数。使用不定积分符号“∫”表示，如∫f(x)dx。计算不定积分时，要注意添加一个常数项（积分常数），因为不定积分的结果是一个函数族。
定积分： 定积分是对一个函数在一定区间上的积分。它表示了函数在该区间上的累积变化量。定积分的计算方法包括几何意义的面积计算、分段函数的积分、定积分的性质等。
2. 分部积分法：
分部积分法是处理不定积分中乘积的形式，类似于求导中的乘积法则。分部积分公式为：
∫udv=uv−∫vdu
其中，u 和 dv 是原函数 f(x) 的两个可导函数，通过分部积分，可以将原积分化简成易于处理的形式。
3. 换元积分法：
换元积分法是通过引入新的变量来简化积分。设 u=g(x)，则 du=g′(x)dx。通过这个变换，原积分可以变为更容易处理的形式。换元积分法的一般形式为：
∫f(g(x))g′(x)dx=∫f(u)du
4. 三角代换法：
三角代换法是一种通过引入三角函数的方法来简化积分。常用的三角代换包括正弦代换、余弦代换、正切代换等。通过选择合适的三角函数，可以将原积分转化为更易处理的形式。
5. 部分分式分解法：
部分分式分解法适用于对一个有理函数进行不定积分的情况。当被积函数为多项式除以多项式的形式时，可以通过部分分式的形式将其拆分为若干个简单的有理函数的和。
6. 定积分的应用：
定积分在几何学中可以用来计算曲线下的面积，也可以应用于求解物理学中的质心、转动惯量等问题。在工程学和经济学中，定积分也常用于计算累积效应，例如总收益、总成本等。
7. 数值积分：
当无法通过解析方法得到积分的精确表达式时，可以使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等，来通过数值逼近的方式计算积分的近似值。
8. 对称性利用：
在一些特殊情况下，对积分区间的对称性进行分析，可以简化积分计算。例如，当被积函数具有偶对称性或奇对称性时，可以利用这种对称性简化积分。