可逆矩阵的特征值一定为0吗？

Question

如题所述

Answer 1

因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，而矩阵可逆的充要条件是行列式不等于0，所以矩阵可逆的充要条件是所有特征值都不等于0。

可逆矩阵的特征值一定不为0

证明：(反证法)

设A可逆，λ=0是A的特征值，x是对应的特征向量

则Ax=0x=O

根据克拉默法则，Ax=0只有零解，而x≠O，因此矛盾

即A的特征值不为0

扩展资料

基本性质

1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。 

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3.对角矩阵都是对称矩阵。

4.两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。