、描绘函数y= x / 1+x² 的图像

Question

利用求定义域 导数求出 x=0的点 求出单调区间与凹凸区间 法 或 斜渐近线的方法 求 然后画出

Answer 1

其图像如下：

函数y= x / (1+x²) 的图像 

定义域：R；在定义域内连续，无间断点；

令y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=-(x²-1)/(x²+1)²=-(x+1)(x-1)/(x²+1)²-[=0

得驻点x₁=-1；x₂=1；x₁是极小点；x₂是极大点；

极小值y=y(-1)=-1/2;      极大值y=y(1)=1/2;

x→-∞limy=x→-∞lim[x/(1+x²)]=x→-∞lim(1/2x)=-0;

x→+∞limy=x→+∞lim[x/(1+x²)]=x→+∞lim(1/2x)=+0;

零点：x=0时y=0；

y''=-[2x(x²+1)²-4x(x²-1)(x²+1)]/(x²+1)^4=-(2x^5+4x³+2x-4x^5+4x)/(x²+1)^4

=x(2x^4-4x²+6)/(x²+1)^4=2x(x²-3)(x²+1)/(x²+1)^4=2x(x+√3)(x-√3)(x²+1)=0 

得 x=0，x=±√3；即有拐点M(0，0); N₁(-√3, -√3/4)；N₂(√3，√3/4)；

当-∞<x≦-√3或[0，√3]时y''≦0；∴在区间(-∞，-√3]∪[0，√3]内是凸函数；

当-√3≦x≦0或√3≦x<+∞)时y''≧0;  ∴在区间[-√3，0]∪[√3，+∞)内是凹函数；

扩展资料

图象性质

1． 作法与图形：通过如下3个步骤（1）算出该函数图象与Y轴和X轴的交点的坐标（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。

2． 性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

3． k，b与函数图象所在象限。

当k>0时，直线必通过一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大；

当k<0时，直线必通过二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小；

当b>0时，直线必通过一、二象限；当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四 象限。

Answer 2

描绘函数y= x / (1+x²) 的图像 

定义域：R；在定义域内连续，无间断点；

令y'=[(1+x²)-2x²]/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=-(x²-1)/(x²+1)²=-(x+1)(x-1)/(x²+1)²-[=0

得驻点x₁=-1；x₂=1；x₁是极小点；x₂是极大点；

极小值y=y(-1)=-1/2;      极大值y=y(1)=1/2;

x→-∞limy=x→-∞lim[x/(1+x²)]=x→-∞lim(1/2x)=-0;

x→+∞limy=x→+∞lim[x/(1+x²)]=x→+∞lim(1/2x)=+0;

零点：x=0时y=0；

y''=-[2x(x²+1)²-4x(x²-1)(x²+1)]/(x²+1)^4=-(2x^5+4x³+2x-4x^5+4x)/(x²+1)^4

=x(2x^4-4x²+6)/(x²+1)^4=2x(x²-3)(x²+1)/(x²+1)^4=2x(x+√3)(x-√3)(x²+1)=0 

得 x=0，x=±√3；即有拐点M(0，0); N₁(-√3, -√3/4)；N₂(√3，√3/4)；

当-∞<x≦-√3或[0，√3]时y''≦0；∴在区间(-∞，-√3]∪[0，√3]内是凸函数；

当-√3≦x≦0或√3≦x<+∞)时y''≧0;  ∴在区间[-√3，0]∪[√3，+∞)内是凹函数；

其图像如下：

Answer 3

令导数为0

解得x=1或-1