高数函数极限直接证明中只需取δ＝ε，使0＜绝对值x-x0＜δ的意义在于？

Question

比如第一题的第一小问和第二小问，证明过程中有一步:δ＝ε/3
这一步的意义是什么？
δ指的是x的范围
ε指的是fx的范围
为什么要让δ＝ε/3呢？

Answer 1

用定义证明极限都是格式的写法，依样画葫芦就是：限 |x-1/2|4，有 |x-1| > 1/2-|x-1/2| > 1/2-1/4 = 1/4。任意给定ε>0，要使　|x/(x-1)-(-1)| = 2|(x-1/2)/(x-1)| = 2|x-1/2|/|x-1| < 2|x-1/2|/(1/4) = 8|x-1/2| < ε，只须 |x-2| min{ε/8,1/4}，取 δ(ε) = min{ε/8,1/4} > 0，则当 0< |x-1/2| < δ(ε) 时，就有 |x/(x-1)-(-1) <= 8|x-1/2| < …< ε ，根据极限的定义，得证。