什么是正交变换？

Question

如题所述

Answer 1

二次型可以用正交变换化成标准形，所化成的标准形中平方项的系数是二次型矩阵的特征值，也可以用一般的合同变换化成标准形，正交变换是特殊的合同变换。正交变换和普通的合同变换几何意义是不同的，正交变换相当于几何中的坐标旋转，因此它不会改变图形的形状，比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示两条直线，用正交变换把左边的二元二次型化成标准形是2y1^2, 在新直角坐标系下曲线的方程是2y1^2=1, 还是两天直线。一般的合同变换化成的标准形不唯一，因此它没有明显的几何意义，如x1^2+4x2^2=1是椭圆，但左边的二次型可用合同变换化成y1^2+y2^2,方程就化成园的方程了。