对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]

Question

对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b] D，使f（x）在[a，b] 上的值域为[a，b] ；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数。（1）求闭函数 符合条件②的区间[a，b] ；（2）判断函数 是否为闭函数？并说明理由；（3）判断函数 是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意， 在[a，b]上递减，则 解得 ，所以所求区间为[-1，1] （2）取 则 ，则f（x）不是（0，+∞）上的减函数。 取 ，即f（x）不是（0，+∞）上的增函数 所以函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 （3）若 是闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b] 即 ∴a、b为方程 的两个实根， 即方程 由两个不等的实根。 当k≤-2时，有 ，解得 当k＞-2时，有 ，无解。 综上所述，k∈（- ，2].