洛必达法则的使用条件和另外两个问题

Question

1.课本上的定义中使用洛必达法则的条件之一是在x=0的去心范围内f'(x)存在；
而一道参考书上的解析中说，在f(x)在x=0处具有连续的一阶导数才可以用洛必达法则
具有连续的一阶导数是什么意思，和课本上的定义是不是同一种说法？还是有什么必然联系？

2.f(x)在（-1，1）内具有二阶连续导数，能否说明在这个范围内也有连续的一阶导数？

3.01年一道数一考研题第一问的一步：
任意x在区间（-1，1）内，在区间（0，1）内存在m(x),使
f(x)=f(0)+xf'(m(x)x)成立
且f'(x)在（-1，1）内单调递增，
为什么可以说m(x)具有唯一性？

Answer 1

1.这两种说法有点区别。比如说，f(x)=|x|,其在 x=0 的去心范围内 f'(x) 存在，但是 x 从正负趋于零时，f'(x) 取值为正负 1 故不存在，也即在 x=0 点是不能求导的。有连续的一阶导数，就是说 f(x) 在 x=0 的领域内均可导，这时就可以用洛必达法则了。所以参考书上的解析是对书本的补充，是更精确的解释。
2.肯定是连续的一阶导数。根据函数求导及连续性的相关结论，函数由二阶的连续代数，则其必有一阶的连续导数。
3.从方程形态来看，这是泰勒级数的展开式的一部分，假设后边二阶导什么的都趋于无穷小，则此时 f'(x) > f(0) + xf'(x),因为 f'(x)为单调增，所以可以将 f'(x) 校正成为 f'(m(x)x),使得上述成为等式，该 m(x) 肯定唯一。

Answer 2

1. 课本上的正确。解析书上的是更苛刻的条件，因为 “具有连续的一阶导数”可以推出课本上的条件，可是课本上的条件意味着，即使函数不具有连续的一阶导数，只要在一个去心邻域内f'(x)存在，就可以考虑洛必达法则。

换句话说，参考书的解析写错了。（因为你说解析写的是“才可以”使用，实际上不满足他的条件也有可能可以使用。）

2. 可以，因为具有二阶连续导数说明在(-1,1)上二阶导数存在
即f'(x)在(-1,1)上可导，所以f'(x)在(-1,1)上连续。

3. 为什么m(x)唯一？
如果存在 n(x) 也满足该方程的话， 即
f(x)=f(0)+xf'(m(x)x)
f(x)=f(0)+xf'(n(x)x)
同时成立
相减得

0 = xf'(m(x)x) - xf'(n(x)x)
由于 x 属于 (0,1), 所以x不等于零，可以约掉。得：
f'(m(x)x) = f'(n(x)x)

又由于f' 单调递增 -- 其实应该说是严格单调递增 -- 可知f'为单射，所以：
m(x)x = n(x)x

再次约掉x, 得到m(x)=n(x), 这就说明m(x)唯一

Answer 3

书上说的洛必达的条件只要求可导，但是导函数有可能不连续，洛必达求的是极限这样洛必达会失效，所以参考资料补充导数连续后会避免上面的失效，两个条件中后者更强的应用性
2，记住可导必连续既然二阶倒数都连续了一阶必连续并可导
3f'(mx)=f(x)-f(0)/x,既然f'(x)是单调的对于某个x,mx必唯一，m自然唯一，不懂可以反证

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Answer 4

第二个当然不成立了……比如一阶导数是 当大于等于零时为1 其他为负1.