高二数学（文科立体几何）

四棱锥P-ABCD中，PA垂直平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，角ABC=角BAD=90度，PA=AB=BC=1/2AD，E为AB中点，F为PC中点。
求证PE垂直BC
若四棱锥P-ABCD的体积为4，求AF的长

推荐答案 2010-11-01

PA垂直平面ABCD,PE在平面ABCD的射影为AE,而AE垂直BC,由三垂线定理，知PE垂直BC
也可以证明：PE与BC的数量积=0

也可以证明：
BC垂直AB,BC垂直PA,PA交AB=A;BC垂直平面PAB;
而PE属于平面PAB,BC垂直PE;

设PA=a，三分之一底面积乘高=4，解得：a=2，AC=2根号2，PC=2根号3
AF=1/2PC=根号3
(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)

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其他回答

第1个回答 2010-10-31

因为PA垂直于面ABCD
所以PA垂直于BC
又因为角ABC=90度
得AB垂直于BC
所以BC垂直于面PAB
所以BC垂直于PE

第2个回答 2010-11-01

求证思路：PE投影是AE，AE垂直于BC，所以PE垂直BC
由体积和体积公式可得出PA=2，AC=2根号2，PC=2根号3，在直角三角形PAC中，用余弦定理表示角AFP和AFC（余弦值一正一负，其中一边加一个负号再相等），就可以求出AF长了

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