首先,你必须区分这几个概念:线性方程组、齐次方程组和非齐次方程组。
线性方程组是一个总称,凡是可写成以下形式的方程组都统称为线性方程组
a11*X1 + a12*X2 + …… + a1n*Xn = b1,
a21*X1 + a22*X2 + …… + a2n*Xn = b2,
………………
am1*X1 + am2*X2 + …… + amn*Xn = bm
线性方程组又分为齐次方程组和非齐次方程组两种,
1. 当常数项b1、b2、……、bm全为零时,该方程组称为齐次方程组
2. 而当常数项b1、b2、……、bm不全为零时,该方程组称为非齐次方程组
另外,“系数行列式”也不够准确,因为只有行数m(方程个数)与列数n(未知元个数)相等时,系数矩阵才能取行列式计算。一般地,用系数矩阵来讨论更准确。可以考虑矩阵的秩。
*********************对于线性方程组有这样的性质*********************
(设D为系数矩阵,b为常数项向量,r(D)表示矩阵D的秩,r(D,b)表示增广矩阵(D,b)的秩)
1. 当r(D)=r(D,b)<列秩n 时,构成系数矩阵的列向量组线性相关,则线性方程组有无数解;
2. 当r(D)=r(D,b)=列秩n 时,构成系数矩阵的列向量组线性无关,则线性方程组存在唯一解;
3. 当r(D) ≠ r(D,b) 时,线性方程组无解。
*****************关于矩阵的秩和行列式的值是否为零的关系*******************
(设|D|表示矩阵D的行列式)
特别地,当 系数矩阵 行数m=列数n时,就不存在r(D) ≠ r(D,b) 的情况。此时,
1. 当|D| = 0时,或者当r(D)=r(D,b)<列秩n时 ,系数向量组线性相关,则线性方程组有无数解;
2. 当|D| ≠ 0时,或者当r(D)=r(D,b)=列秩n时 ,系数向量组线性无关,则线性方程组存在唯一解
********************对于齐次方程组********************
齐次方程组可以看作线性方程组的一种特殊形式,即常数向量b为零向量时的特殊情况。
同样,此时也不存在r(D) ≠ r(D,b) 的情况。(假设m=n)
同样地,
1. 当|D| = 0时,或者当r(D)=r(D,b)<列秩n时 ,系数向量组线性相关,则齐次方程组有非零解(即除了零解以外还有无数个非零解);
2. 当|D| ≠ 0时,或者当r(D)=r(D,b)=列秩n 时,系数向量组线性无关,则线性方程组只存在唯一解,这个解就是零解。
上面就是我对这一章的大致理解,有不明白的给我留言,我再补充~~
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