线性方程组系数行列式怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

首先，你必须区分这几个概念：线性方程组、齐次方程组和非齐次方程组。
线性方程组是一个总称，凡是可写成以下形式的方程组都统称为线性方程组
a11*X1 + a12*X2 + …… + a1n*Xn = b1，
a21*X1 + a22*X2 + …… + a2n*Xn = b2，
………………
am1*X1 + am2*X2 + …… + amn*Xn = bm

线性方程组又分为齐次方程组和非齐次方程组两种，
1. 当常数项b1、b2、……、bm全为零时，该方程组称为齐次方程组
2. 而当常数项b1、b2、……、bm不全为零时，该方程组称为非齐次方程组

另外，“系数行列式”也不够准确，因为只有行数m（方程个数）与列数n（未知元个数）相等时，系数矩阵才能取行列式计算。一般地，用系数矩阵来讨论更准确。可以考虑矩阵的秩。

*********************对于线性方程组有这样的性质*********************
（设D为系数矩阵，b为常数项向量，r(D)表示矩阵D的秩，r(D,b)表示增广矩阵(D,b)的秩）
1. 当r(D)=r(D,b)＜列秩n 时，构成系数矩阵的列向量组线性相关，则线性方程组有无数解；
2. 当r(D)=r(D,b)＝列秩n 时，构成系数矩阵的列向量组线性无关，则线性方程组存在唯一解；
3. 当r(D) ≠ r(D,b) 时，线性方程组无解。

*****************关于矩阵的秩和行列式的值是否为零的关系*******************
（设|D|表示矩阵D的行列式）
特别地，当 系数矩阵 行数m=列数n时，就不存在r(D) ≠ r(D,b) 的情况。此时，
1. 当|D| = 0时，或者当r(D)=r(D,b)＜列秩n时 ，系数向量组线性相关，则线性方程组有无数解；
2. 当|D| ≠ 0时，或者当r(D)=r(D,b)＝列秩n时 ，系数向量组线性无关，则线性方程组存在唯一解

********************对于齐次方程组********************
齐次方程组可以看作线性方程组的一种特殊形式，即常数向量b为零向量时的特殊情况。
同样，此时也不存在r(D) ≠ r(D,b) 的情况。（假设m=n）
同样地，
1. 当|D| = 0时，或者当r(D)=r(D,b)＜列秩n时 ，系数向量组线性相关，则齐次方程组有非零解（即除了零解以外还有无数个非零解）；
2. 当|D| ≠ 0时，或者当r(D)=r(D,b)＝列秩n 时，系数向量组线性无关，则线性方程组只存在唯一解，这个解就是零解。

上面就是我对这一章的大致理解，有不明白的给我留言，我再补充~~