1、设g(x)=(1-3ax),p(x)=√g(x),且m>n
又∵1-3ax≥0,-->ax≤1/3
当a<0,定义域[1/3a,+∞);当a>0,定义域(-∞,1/3a]
∵g(m)-g(n)=(1-3am)-(1-3an)=-3am+3an=3a(n-m)
∴有 结论①
当a<0时,g(x)是增函数(x≥1/3a);
当a>0,a≠1时,g(x)是减函数(x≤1/3a);
当a=0时,f(x)=-1
p(m)-p(n)=√g(m) - √g(n)
当g(x)是增函数时,p(x)是增函数;
当g(x)是减函数时,p(x)是减函数;
即 p(x)与g(x)的单调性一致。
∵f(m)-f(n)=[p(m)-p(n)]/(a-1) 又∵p(x)与g(x)的单调性一致
∴
当a>1,g(x)是增函数时,f(x)是增函数;
当a<1,g(x)是增函数时,f(x)是减函数;
当a>1,g(x)是减函数时,f(x)是减函数;
当a<1,g(x)是减函数时,f(x)是增函数;
再综合“结论①:a<0 g(x)是增函数;a>0 g(x)是减函数”,
有:
③当a>1时,f(x)是减函数,定义域(-∞,1/3a];
④当0<a<1时,f(x)是增函数,定义域(-∞,1/3a];
⑤当a=0时,f(x)=-1,定义域(-∞,+∞);
⑥当a<0时, f(x)是增函数,定义域[1/3a,+∞);
②若f(x)在(0,1]上为减函数,则只有③符合要求,
1/3a≤1 且 a>1
1/3≤a<1
2、y=x/(x^2+1)=1/(x+1/x)
设f(x)=x+1/x,m>n
f(m)-f(n)=(m-n)+(1/m-1/n)=(m-n)-(m-n)/mn=(m-n)(1-1/mn)
(m-n)>0,而
当x∈(-1,0)时,1/mn>1, f(x)是减函数;
当x∈(0,1)时,1/mn>1, f(x)是减函数;
当x∈(-∞,1]时,0<1/mn<1, f(x)是增函数;
当x∈[1,+∞)时,0<1/mn<1, f(x)是增函数;
∴(以下的证明相信你会做-->分母越大,分数越小)
当x∈(-∞,1]时,y=1/f(x)是减函数;
当x∈(-1,1]时,y=1/f(x)是增函数;
当x∈[1,+∞)时,y=1/f(x)是减函数
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