( 问答题 ) 要用铁板做一个体积为的有盖长方体水箱, 问当长,宽,高各...

Question

如题所述

Answer 1

1. 使用拉格朗日乘数法来解决这个问题。
2. 设定长方体水箱的长、宽、高分别为 x 米、y 米、z 米，用料函数为 f(x,y,z) = 2(xy + yz + xz)。
3. 体积约束条件为 g(x,y,z) = xyz - 2 = 0。
4. 构建拉格朗日函数 F(x,y,z) = 2(xy + yz + xz) + λ(xyz - 2)。
5. 求 F 的偏导数并令其为零，得到三个方程：
Fx' = 2(y + z) + λyz = 0
Fy' = 2(x + z) + λxz = 0
Fz' = 2(x + y) + λxy = 0
6. 由体积约束知 xyz = 2，解这个方程组得到唯一驻点 (x, y, z) = (2^(1/3), 2^(1/3), 2^(1/3))。
7. 因此，用料最省的长方体水箱应该是边长都为 2^(1/3) 米的正立方体。
8. 此时的最小用料面积为 f(min) = 6 * 2^(2/3) = 9.52 平方米。
扩展资料：
条件极值问题有时可以通过无条件极值的方法求解，但有时条件关系复杂，代换和运算繁琐。相比之下，“拉格朗日乘数法”不需要代换，运算较为简单，这是它的优势。条件函数 φ(x,y,z) 通常是一个等式，可以设为 φ(x,y,z) = m。然后构建一个函数 g(x,y,z) = φ(x,y,z) - m，用 g(x,y,z) = 0 代替 φ(x,y,z)。在许多极值问题中，函数的自变量通常会受到一些条件的限制，例如设计一个体积为 V 的长方体水箱，需要确定长、宽、高的尺寸，使得水箱的表面积最小。这类问题被称为条件极值问题，一般形式是在条件限制下，求函数 F 的极值。