请问这种拉格朗日函数的方程组怎么解

Question

如题所述

Answer 1

从第3个方程得到2z(λ+1)=0, 即z=0或者λ=-1

然后分两类讨论：

z=0，第4个方程变成xy+x-y+4=0

前两个方程消去λ可以得到x(x-1)=y(y+1)，整理成(x+y)(x-y-1)=0

再分两种情况：

1.1) x=-y，代入xy+x-y+4=0得到一元二次方程，解出x=1±5^{1/2}，相应的y=-x, z=0

1.2) x=y+1，同样解一个一元二次方程，此时没有实数解。

λ=-1，此时前两个方程是线性方程，很容易解出x=-1, y=1, 代入第4个方程得到z=±1，图里z解错了。

把这些情况综合一下就得到(-1,1,±1)是离远点最近的点。

在分析力学里，假设已知一个系统的拉格朗日函数，则可以将拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加运算，即可求得此系统的运动方程。

扩展资料：

拉格朗日函数对于时间的全导数：

将拉格朗日方程代入，可以得到

定义能量函数  为

则能量函数与拉格朗日函数有以下含时关系式：

假若拉格朗日量显性地与时间无关，  ，则能量函数是个常数：  。称这常数  为这物理系统的能量。因此，这物理系统的能量守恒。

设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数  ，其中λ为参数。

令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0

F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。