级数问题

Question

若 { an } 为单调递减数列，且an > 0 (n=1,2 ,...), 级数（n=1)∑（-1)^(n-1) an 发散，为什么能够得到 n趋无穷的lim an 等于a不等于0

Answer 1

【一】{an}收敛

① 若 { an } 为单调递减数列，
② 0 < an ≤ a1 n∈Z+ ，即 { an } 为有界数列；
则由【单调有界原理】， {an}收敛。 设： liman = a

【二】n趋无穷的lim an 等于a不等于0

反之，由 Leibniz 交错级数判别法：
如：
lim(n->∞) an = a = 0 , 且：{ an } 为单调递减数列 ；
则：∑[n=1,∞] （-1)^(n-1) an 收敛。 矛盾！
故：lim(n->∞) an = a ≠ 0