初中奥数几何

Question

在正方形ABCD中（A在左上角，B在左下角，C在右下角，D在右上角），E,F分别是BC,CD上的点,满足EF=BE+DF,AE,AF分别与对角线BD交于M,N.
(1)求证：∠EAF=45° （2）求证：MN²=BM²+DN²

(请写一下解析过程，谢谢啦）

Answer 1

如图所示：

Answer 2

1. 设正方形边长为a
EF^=FC^+EC^=(a-DF)^+(a-BE)^=2a^-2aEF+DF^+BE^
EF^=(DF+BE)^=DF^+BE^+2DF*BE
∴a^-aEF=DF*BE aEF=a^-DF*BE (1)
设∠BAE=∠1,∠DAF=∠2
tan(∠1+∠2)=(tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1tan∠2)
=(BE/a + DF/a)/(1-BE*DF/a^)
=EF*a/(a^-BE*DF)
将（1）式代入，得tan(∠1+∠2)=1
即∠1+∠2=45 ∴∠EAF=45

Answer 3

EF^=FC^+EC^=(a-DF)^+(a-BE)^=2a^-2aEF+DF^+BE^
EF^=(DF+BE)^=DF^+BE^+2DF*BE
∴a^-aEF=DF*BE aEF=a^-DF*BE (1)
设∠BAE=∠1,∠DAF=∠2
tan(∠1+∠2)=(tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1tan∠2)
=(BE/a + DF/a)/(1-BE*DF/a^)
=EF*a/(a^-BE*DF)
将（1）式代入，得tan(∠1+∠2)=1
即∠1+∠2=45 ∴∠EAF=45

Answer 4

1. 设正方形边长为a
EF^=FC^+EC^=(a-DF)^+(a-BE)^=2a^-2aEF+DF^+BE^
EF^=(DF+BE)^=DF^+BE^+2DF*BE
∴a^-aEF=DF*BE aEF=a^-DF*BE (1)
设∠BAE=∠1,∠DAF=∠2
tan(∠1+∠2)=(tan∠1+tan∠2)/(1-tan∠1tan∠2)
=(BE/a + DF/a)/(1-BE*DF/a^)
=EF*a/(a^-BE*DF)
将（1）式代入，得tan(∠1+∠2)=1
即∠1+∠2=45 ∴∠EAF=45