三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间存在一定的关系。首先，我们需要了解正交矩阵和行列式的定义。
正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵。对于一个3x3的正交矩阵A，我们有A^T=A^-1。正交矩阵的一个重要性质是其列向量两两正交且模为1。
行列式是一个方阵的一个数值属性，它表示了该方阵在变换过程中保持体积的能力。对于一个3x3的矩阵A，其行列式记为det(A)。
现在我们来探讨三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间的关系。对于一个3x3的正交矩阵A，我们可以将其表示为：
A=QR
其中Q是一个正交矩阵，R是一个上三角矩阵。由于A是正交矩阵，所以Q^T=Q^-1，即Q的转置等于其逆矩阵。因此，我们有：
A^T=RQ^T=RQ^-1=QR^-1
这意味着A的逆矩阵可以表示为A^-1=QR^-1。接下来，我们计算A的特征值。对于一个3x3的矩阵A，其特征值满足以下方程：
|A-λI|=0
其中λ是特征值，I是单位矩阵。将A表示为A=QR，我们可以得到：
|QR-λI|=|R(Q-λI)|=0
这表明R(Q-λI)是一个零矩阵。由于R是一个上三角矩阵，所以R(Q-λI)的非零元素都位于主对角线上。因此，我们有：
R(Q-λI)=R[Q-λI]=0
这意味着Q-λI是一个零矩阵。由于Q是一个正交矩阵，所以Q的列向量两两正交且模为1。因此，我们有：
Q-λI=Q+(-λ)I=0
这意味着Q的每个列向量都是λI的解。由于Q是一个正交矩阵，所以它的列向量构成了一个正交基。因此，我们可以得出结论：对于任意的λ，都有至少一个Q的列向量是λI的解。这意味着λ是A的一个特征值。
综上所述，三阶正交矩阵的行列式与其特征值之间的关系是：对于一个3x3的正交矩阵A，其行列式等于其所有特征值之积。这是因为行列式表示了方阵在变换过程中保持体积的能力，而特征值表示了方阵在变换过程中保持线性映射的能力。对于一个正交矩阵，其所有特征值都是实数，且它们的乘积等于其行列式。