概率论的问题

Question

有外形相同的N把锁和N把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，现将锁和钥匙配对，每对有锁和钥匙各一把。试求至少有一把锁能被所配对钥匙打开的概率。

Answer 1

回答：

这个问题属于著名的“乱序问题”(Derangement)。

N把锁和N把钥匙无一配对的几率是

P(N) = ∑{i=0, N}{[(-1)^i]/i!}.

至少有1把配对的概率就是1-P(N)。当N→∞时，P(N)→(1/e)，至少有1把配对的概率就趋于
(e-1)/e。

Answer 2

先求所有钥匙都打不开的概率为Cn-1/n，即从n把钥匙中选出n-1把，但是不选正确的那把，之后是Cn-1/n-2,...最后是C1/2，这个事项概率为(n-1)/n * (n-2)/(n-1) *...*1/2=1/n,因此至少有一把能打开的概率为1-1/n=(n-1)/n

Answer 3

1、 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为______． 2、 若()0.4PA，7.0)(BAP，A和B独立，则()PB 。
3、设随机变量X和Y的相关系数为5.0，()()0,EXEY2
2
()()2EXEY，则
2
EXY
 。
4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且3
1}0{XP，则 .
5、 设总体
2
,
~
NX，1
2(,)X
X是从X中抽取的一个样本，样本容量为2，则12(,)XX的联合概率密度函数12,gxx_________________________．
6、设总体X服从参数为的指数分布()e，nXXX,,,2
1是来自总体X的简单随机样本，则()DX 。
7、设]1,[~aUX，nXX,,1是从总体X中抽取的样本，a的矩估计为 。 8、若X~()tn，则X
2
~ .
二、选择题（每题3分，共24分）
1、有个球，随机地放在n个盒子中（n），则某指定的个盒子中各有一球的概率为 。 （A）

n
!
（B）
n
Cr
n
!
（C）
n
n
!
(D) n
n
nC

!

2、设8.0)|(,7.0)(,8.0)(BApBpAp，则下列结论正确的是 (A) A与B相互独立(B) 事件A、B互斥. (C)AB(D) )()()(BpApBAp 3、设随机变量X的概率密度为|
|)(xce
xf，则c＝ 。 （A）－
2
1 （B）0 （C）
2
1 （D）1
4、设X服从参数为9
1
的指数分布，)(xF为其分布函数，则}93{XP( ))(A )9
3()1(FF； )(B
)11
(
9
13
e
e

； )
(Ce
e
11
3

； )
(D 9
/30
xedx
5、设X与Y为两个随机变量，且7
300
YXP， ， 7
400
YPXP ，则0maxYXP，
A
7
5； B
49
16； C
7
3； D
49
40
6、设随机变量X与Y独立同分布，记YXU，YXV，则U与V之间必有 A 独立B 相关系数为零C 不独立 D 相关系数不为零． 7、设nXX,,1是来自总体X的样本，且()EX，则下列是的无偏估计的是（ ）
)
(A1
1
1
niiXn
； )
(Bn
iiXn1
1
1
； )
(Cn
iiXn
2
1
； )
(D1
1
1
1
niiXn
8、1621,,,XXX是来自总体~(01XN，）
的一个简单随机样本，设：2
2
18ZXX 2
2
916YXX，则Y
Z~（ ） )(A)1,0(N )(B)16(t )(C)16(2
 )(D)8,8(F
三1、(6分) 用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病者被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的发病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。

2、(6分) 设随机变量12,XX的概率分布为
101
1114
2
4
i
XP
 1,2i. 且满足12(0)1PXX，求12,XX的联合分布列和相关系数为12(,)RXX
3、（14分）设随机变量X和Y在区域D上服从均匀分布，其中D为1,0,xxyxy围成，试求：（1）X和Y的联合密度函数； （2）X和Y的边缘分布，并讨论X和Y是否独立 ； （3）期望)(XYE的值 。
4. （6分）一辆公共汽车送25名乘客到9个车站，每位乘客在每个车站都是等可能下车，并且他们下车与否相互独立，交通车只有在有人下车的站才停。求交通车停车次数X的数学期望。
5、（8分）正常人的脉搏平均72次每分钟，现在测得10例酏剂中毒患者的脉搏，
算得平均次数为67.4次，均方差为5.929。已知人的脉搏次数服从正态分布，试问：中毒患者与正常人脉搏有无显著差异。
（可能用到的数：0.025(9)2.262t，0.05(9)1.833t，0.025(10)2.23t，0.05(10)1.812t）
6、(12分)设总体X密度函数为2
2,0()0,x
xfx

其他
, 12,,,nxxx为来自总体的一个样本，
求的矩估计和极大似然估计.
一、
1、
5
2；2、
12
；3、6；4、3ln；5、
22
122
()()
22
12xxe



；6、
2
1
n；
7、
12
1
n
ii
x
n
或21x；8、(1,)Fn
二、1、A；；2、A；3、C；4、C；5、A；6、B；7、D；8、D 三、1、(6分) 解：设 A={肝病患者}，B={被诊断为患有肝病}， 由贝叶斯公式，
)
|()()|()()
|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP
3 分
.0187.002
.0)0004.01(95.00004.095
.00004.0
3 分

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2、（6分）解：12(,)XX的联合分布为
X2
X1 –1
0
1
–1
0
1
4

0
1
4
0 1
4

0
14

12 1 0
14
0
14

14

12

14

12120,0,0EXEXEXX，所以12cov(,)0XX 于是 12(,)0RXX. 2分
3.（14分）解：（1）1|)]([1
0
2
1
0
xdxxxS 所以
01
)(xf 其他Dyx),( 4 分（2）xdydyyxfxfx
xX21),()(


 

02)(xxfX 其他10x dxyxfyfY


),()( 当01y时，
ydxyfyY11)(1
当10y时，ydxyfy
Y11)(1
故

011)(yyyfY 其它100
1yy 由于),()()(yxfyfxfYX，所以不独立。 2 分（3）00),()(1
0
1
0






dx
xydy
dxdyyxxyf
dxXYEx
x
2 分
4. （6分）解：设01
iX 个车站没有乘客下车
公共汽车在第个车站有乘客下车公共汽车在第ii（1,2,,9i） 则 9
1
iiXX

}0{0}1{1iii
XPXPEX
25
8
1()9 9
251
8
()()9[1()]9iiEXEX 2 分
5、（8分）解：由题意得，),(~2
NX H0：720 H1：720 )1(~/
0
ntn
SXT 其中 929.5,4.67,10SXn代入 2622.2)9(453.210
/929.5724.67025.0
tt 所以，拒绝H0 ，认为有
显著差异。2 分 6、(12分)解 2
2
0
223
x
Edx




由2
3
x, 所以^
32
x
似然函数1122
(,)n
nnn
Lxxxx

 1
lnln22lnlnn
i
iLnnx


ln2dLn
d


, 所以()L单调下降 
^
1,maxLnxx