如何用微分的定义去解释定积分的求法?

如题所述

∫ lnx/x² dx,首先将1/x²推进d里,这是积分过程

= ∫ lnx d(- 1/x),然后互调函数位置

= - (lnx)/x + ∫ 1/x d(lnx),将lnx从d里拉出来,这是微分过程

= - (lnx)/x + ∫ 1/x * 1/x dx

= - (lnx)/x + ∫ 1/x² dx

= - (lnx)/x - 1/x + C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。

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