有九十个约数的最小自然数是几

Question

如题所述

Answer 1

将这个自然数质因数分解，各个质因数的指数加1后相乘的结果就是这个自然数的因数的个数。如72＝2^3×3^2，因此个72有(3＋1)×(2＋1)＝12个因数。
90最多可以化成四个正整数的积：90＝2×3×3×5，如果所求自然数有4个不同的质因数，那么这个自然数的4个质因数的指数分别是1、2、2、4，显然，最小是2^4×3^2×5^2×7＝25200
如果所求自然数有3个不同质因数，那么这个自然数的指数越小，自然数也就越小。而90＝6×3×5＝3×3×10＝2×9×5＝2×3×15，其中6×3×5这组数的指数和最小，此时最小的自然数是2^5×3^4×5^2＞25200
同样，所求自然数只有两个不同质因数时，最小的自然数是2^9×3^8＞25200
只有一个质因数的最小自然数是2^89＞25200
故有90个因数的最小自然数是25200

Answer 2

是问正好有90个约数的最小自然数吗？
一个自然数的约数个数有多少个？可以这样计算：把它分解质因数，如果分解质因数的结果是A1^n1·A2^n2·A3^n3……Ak^nk，那么，它的约数个数就是
（n1+1）（n2+1）（n3+1）……（nk+1）
而90=90x1=45x2=30x3=18x5=15x6=10x9
=2x3x15=2x5x9=3x5x6
=2x3x3x5
由此可知，如果这个数等于一个质数的89次方，那么它正好有90个约数；如果它等于某个质数的44次方乘另一个质数，那么它也正好有90个约数；……
2^4x3^2x5^2x7
=16x9x25x7
=25200
正好有90个约数的最小自然数是25200。

Answer 3

90=2*3*3*5，所以这个数应该有4个质因数，4个2，2个3，2个5，和1个7。
这样这个数应该是
16*9*25*7=25200

Answer 4

90=2×3×3×5
（1+1）×（2+1）×（2+1）×（4+1）
2的4次方×3²×5²×7
16×9×25×7=25200