第1个回答 2020-04-10
允许两数重复的情况下
答案为x=1，y=4；甲知道和a=x+y=5，乙知道积b=x*y=4
不允许两数重复的情况下有两种答案
答案1：为x=1，y=6；甲知道和a=x+y=7，乙知道积b=x*y=6
答案2：为x=1，y=8；甲知道和a=x+y=9，乙知道积b=x*y=8
解：
设这两个数为x，y.
甲知道两数之和
a=x+y；
乙知道两数之积
b=x*y；
该题分两种情况
：
允许重复，
有(1
<=
x
<=
y
<=
30)；
不允许重复，有(1
<=
x
<
y
<=
30)；
当不允许重复，即(1
<=
x
<
y
<=
30)；
1)由题设条件：乙不知道答案
<=>
b=x*y
解不唯一
=>
b=x*y
为非质数
又∵
x
≠
y
∴
b
≠
k*k
(其中k∈n)
结论(推论1)：
b=x*y
非质数且
b
≠
k*k
(其中k∈n)
即：b
∈(6，8，10，12，14，15，18，20...)
证明过程略。
2)由题设条件：甲不知道答案
<=>
a=x+y
解不唯一
=>
a
>=
5；
分两种情况：
a=5，a=6时x，y有双解
a>=7
时x，y有三重及三重以上解
假设
a=x+y=5
则有双解
x1=1，y1=4；
x2=2，y2=3
代入公式b=x*y：
b1=x1*y1=1*4=4；(不满足推论1，舍去)
b2=x2*y2=2*3=6；
得到唯一解x=2，y=3即甲知道答案。
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
，
故假设不成立，a=x+y≠5
假设
a=x+y=6
则有双解。
x1=1，y1=5；
x2=2，y2=4
代入公式b=x*y：
b1=x1*y1=1*5=5；(不满足推论1，舍去)
b2=x2*y2=2*4=8；
得到唯一解x=2，y=4
即甲知道答案
与题设条件："甲不知道答案"相矛盾
故假设不成立，a=x+y≠6
当a>=7时
∵
x，y的解至少存在两种满足推论1的解
b1=x1*y1=2*(a-2)
b2=x2*y2=3*(a-3)
∴
符合条件
结论(推论2)：a
>=
7
3)由题设条件：乙说"那我知道了"
=>乙通过已知条件b=x*y及推论(1)(2)可以得出唯一解
即：
a=x+y，
a
>=
7
b=x*y，
b
∈(6，8，10，12，14，15，16，18，20...)
1
<=
x
<
y
<=
30
x，y存在唯一解
当
b=6
时：有两组解
x1=1，y1=6
x2=2，y2=3
(∵
x2+y2=2+3=5
<
7∴不合题意，舍去)
得到唯一解
x=1，y=6
当
b=8
时：有两组解
x1=1，y1=8
x2=2，y2=4
(∵
x2+y2=2+4=6
<
7∴不合题意，舍去)
得到唯一解
x=1，y=8
当
b>8
时：容易证明均为多重解
结论：
当b=6时有唯一解
x=1，y=6当b=8时有唯一解
x=1，y=8
4)由题设条件：甲说"那我也知道了"
=>
甲通过已知条件a=x+y及推论(3)可以得出唯一解
综上所述，原题所求有两组解：
x1=1，y1=6
x2=1，y2=8
当x<=y时，有(1
<=
x
<=
y
<=
30)；
同理可得唯一解
x=1，y=4
推理2:只有1和7
分析
因为乙先说知道，说明乙通过这个乘积可以确定一组唯一的数，而甲后说知道了，说明甲通过乙提供的信息及两数之和也能确定唯一的一组数
先看乘积
如果是1和4，则乘积为4，可分解为1*4，2*2，不是唯一的一组
如果是1和7，则乘积为7是质数，可以分解为1*7，是唯一的一组
如果是4和7，则乘积为28，可分解为，4*7，2*14，1*28，不是唯一的一组
如果是1和17，则乘积为17是质数，可分解为1*17，是唯一的一组
如果是4和17，则乘积为68，可分解为2*34（不符合条件），和4*17，是唯一的一组
如果是7和14，则乘积为98，可分解为49*2（不符合条件），和7*14，是唯一的一组
由此筛选出1和7，1和17，4和17，7和14
在看两数之和
如果是1和7，则和为8，可分解为，1+7，2+6，3+5，4+4
1、如果分解为2+6，则乘积为12，不能确定唯一的一组数相乘
2、如果分解为3+5，则乘积为15，不能确定唯一的一组数相乘
3、如果分解为4+4，则乘积为16，不能确定唯一的一组数相乘
4、如果分解为1+7，则乘积为7，能确定唯一的一组数相乘
因此1和7成立
如果是1和17，则和为18，可分解为1+17，2+16，3+15....9+9
其中，如果分解为1+17，则乘积为17，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为5+13，则乘积为65，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此1和17不成立
如果是4和17，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立
如果是7和14，则和为21
其中
如果分解为2+19，则乘积为38，能确定唯一的一组数相乘
如果分解为4+17，则乘积为68，能确定唯一的一组数相乘
这样至少有两组解符合条件
因此4和17不成立
总上，只有1和7符合条件
推理3:由乙开始推理：2*2=4或1*4=4
假设是2和2的话，甲所得的数是4，那么甲就会想“2+2=4，
1+3=4，那么他（乙）就会认为我所的数是3或4，如果是3的话，那么我（甲）就知道结果
1*3=3，现在他（乙）不知道，那么只能是2*2=4，相信他（乙）现在也得出了这个结果。可是他（乙）还要反问我（甲）知不知道，那么就是说2*2=4这个结果不成立，那么只能是1*4=4