求二次函数动点到直线的长度最大值
如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1,0）、B（4,0）、C（0,3），D为直线BC上方抛物线上的一个动点，DE⊥BC于E，求线段DE长度的最大值。
设抛物线方程为：y=a(x+1)(x-4)；再将C点的坐标(0，3)代入得：3=-4a，故a=-3/4；
∴抛物线方程为：y=-(3/4)(x+1)(x-4)=-(3/4)(x²-3x-4)
BC所在直线的方程为：y=-(3/4)(x-4)=-(3/4)x+3；即3x+4y-12=0..........①；
点D在抛物线上，可设D的坐标为：(x，-(3/4)(x²-3x-4)); 其中0≦x≦4；
那么点D到直线①的距离d=∣3x-3(x²-3x-4)-12∣/5=∣-3x²+12x∣/5=3∣x²-4x∣/5
=3∣(x-2)²-4∣/5≦12/5=2.4，∵0≦x≦4, ∴当x=2(此时y=9/2)时等号成立。
即当点D的坐标为(2，9/2)位置时，点D到AB的距离最大，最大值为12/5=2.4；
∴抛物线方程为：y=-(3/4)(x+1)(x-4)=-(3/4)(x²-3x-4)
BC所在直线的方程为：y=-(3/4)(x-4)=-(3/4)x+3；即3x+4y-12=0..........①；
点D在抛物线上，可设D的坐标为：(x，-(3/4)(x²-3x-4)); 其中0≦x≦4；
那么点D到直线①的距离d=∣3x-3(x²-3x-4)-12∣/5=∣-3x²+12x∣/5=3∣x²-4x∣/5
=3∣(x-2)²-4∣/5≦12/5=2.4，∵0≦x≦4, ∴当x=2(此时y=9/2)时等号成立。
即当点D的坐标为(2，9/2)位置时，点D到AB的距离最大，最大值为12/5=2.4；
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第1个回答 2018-09-16
2.4
。。。。。
。。。。。
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