高中数学竞赛培优教程第一章集合与实数

Question

答案有吗

Answer 1

集合他这快是高中的基本内容，从高考角度来说不难，但从竞赛角度来说还是有些难度且值得推敲的以下是我搞竞赛时的一些基本内容和典型题型，希望有所帮助
第2节集合总复习
教学目的：
1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。
2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集 的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。
3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“⊂≠”、“⊆”的含义。 4.会判断简单集合的相等关系
（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；
（2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。
5.理解交集与并集的概念，熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集，掌握集合的交、并的性质。 教学重点：
1.集合的基本概念及表示方法。
2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 教学难点：
1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。
3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。
4.集合的交、并的性质。 （一）集合的有关概念：
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ （3）整数集：全体整数的集合。记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R （二）集合的表示方法：列举法，描述法 （三）集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能
模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出） 1.子集
（1）定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A） 这时我们也说集合A是集合B的子集. 2．交集的定义
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 2．并集的定义
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集． 记作：AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})．
3.两个集合相等
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 用式子表示：如果A⊆B，同时B⊆A，那么A=B. 例1：用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13} }5,23|{nNnnxx且 ②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{nNnnxx且
用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15} ②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

取值范围
是[ ]
A．m＜4 B．m＞4 C．0＜m＜4
D．0≤m＜4
可得0≤m＜4．答选D．
例3：已知M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}则M∩N是[ ]
A．{0，1} B．{(0，1)} C．{1}
分析先考虑相关函数的值域． 解∵M＝{y|y≥1}，N＝{y|y≤1}， ∴在数轴上易得M∩N＝{1}．选C．
例4：设集合A＝{x|－5≤x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∪B＝ [ ] A．{x|－5≤x＜1} B．{x|－5≤x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2} 分析画数轴表示

B)．答 D． ∪B)；
为 [ ]
例已知集合＝＋＋＝，如果∩＝，则实数的2 A{x|xx10}ARm2m分析∵∩＝，∴＝．
所以＋＋＝无实数根，由 ARAxx12
M0m0(m)402≥，
Δ＝－＜，
得∪＝≤，∪＝．注意，也可以得到∪＝≠AB{x|x2}ABB(ABAB例下列四个推理：①∈∪∈；②∈∩∈5 a(AB)aAa(AB)a(A③∪＝；④∪＝∩＝，其中正确的个数ABABBABAABB

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A．1 B．2 C．3
分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．答选C
例6：集合A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝2}，则A∩B＝________． 分析 A∩B即为两条直线x＋y＝0与x－y＝2的交点集合．
所以A∩B＝{(1，－1)}．
例
7：设
A＝{x∈R|f(x)＝0}，B＝{x∈R|g(x)＝0}，
[ ] A．C＝A∪(UR)
B．C＝A∩(
UB)
C．C＝A∪B D．C＝(
UA)∩B
分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0} ＝A∩(
UB)．答选
B．说明：本题把分式的意义与集合相结合．
例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．
分析一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．
另一种方法，画图1－10观察可得．

答填15．
例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(UB)
＝{5，13，23}，(
UA)∩B＝{11，19，29}，(
UA)∩(
UB)＝{3，7}求
A，B．
分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．

解∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}
解由＋＝，－＝得＝，＝－．
xy0xy2 x1y1C{xR|
f(x)
g(x)
0}UR＝∈＝，全集＝，那么C{xR|
f(x)
g(x)
0}＝∈