函数f(x)在x0连续，当且仅当f(x)满足以下三个条件：
1、f(x)在x0及其左右近旁有定义；
2、f(x)在x0的极限存在；
3、f(x)在x0的极限值与函数值f(x0)相等。
一致连续性说明
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法参考相应词条。
以上内容参考 百度百科—连续函数