将圆从左到右,从上到下分别编号为圆1,2,3,4,5;分别找到各圆的圆心是O1,O2,O3,O4,O5,圆1与2的切点A.圆1与4的切点B,圆4与5的切点C.分别连接BO5,AO4和CO1如下图连接即可;还有两条,分别以平行x轴的直线切圆3,4,5和平行于y轴的直线切圆1,4.
(1)设圆半径为r,那么切下的圆的面积为1/6圆的面积,切下部分的面积表达式:设角度为x°,x/360*πr^2-1/2r^2*SIN(X)=1/6πr^2,
化简得到:π/360*x-1/2SINx-π/6=0,令f(u)=π/360*x-1/2SINx-π/6,f(u)的一阶导数是:
π/180-COSx=0,x=arccos(π/180)=89°。f(89°)<0,所以不能使用此方法确定x的值。只能采用作图法和一些判断来确定x的值。x的最大值是(π/6+1)*180/π=117.3°。将x=115带入,f(115)>0,而f(112)<0,解出x=113°。
(2)设圆半径为r,那么切下的圆的面积为1/4圆的面积,切下部分的面积表达式:设角度为x°,x/360*πr^2-1/2r^2*SIN(X)=1/4πr^2,
‍化简得到:π/360*x-1/2SINx-π/4=0,令f(u)=π/360*x-1/2SINx-π/4,f(u)的一阶导数是:
π/180-COSx=0,x=arccos(π/180)=89°。f(89°)<0,所以不能使用此方法确定x的值。只能采用作图法和一些判断来确定x的值。x的最大值是(π/2+1)*180/π=147.3°。将x=130带入,f(130)<0,而f(135)>0,解出x=132.34°。
我们还有一种情况,如下图所示。直线L6与圆1,3相切,且平行于直线O2O4。
通过计算阴影部分的的角度为2*arccos((2^0.5)-1)=131.06°,f(131.06)<0,f(180)>0我们可以推断,满足条件的直线有无数条,他们肯定有约束条件。
同理如下图
直线L7进行最小和最大化,可以看出,如果K点固定的话,总有一条直线满足要求;如果K点移动的话,有无数条直线满足要求,但是他们肯定有约束条件。
同理如下图
有无数条直线满足要求,但是他们肯定有约束条件。
1、左上角位置补上一个相同的圆,让这个圆和右边的圆下边的圆对齐。
2、连接这个新圆和最右下角圆的圆心并向两端延伸,得到的支线平分了原来五个圆的面积。如图。
这个图形是中心对称图形,中间两个圆被直线分开后形成的图形面积相等,均为1个圆的面积,右下角圆被通过圆心直线分成两个半圆面积。所以直线两侧均为2.5圆面积。
与圆相关的公式:
1、半圆的面积:S半圆=(πr^2)/2。(r为半径)。
2、圆环面积:S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径,r为小圆半径)。
3、圆的周长:C=2πr或c=πd。(d为直径,r为半径)。
4、半圆的周长:d+(πd)/2或者d+πr。(d为直径,r为半径)。
5、扇形弧长L=圆心角(弧度制)×R= nπR/180(θ为圆心角)(R为扇形半径)。
6、扇形面积S=nπ R²/360=LR/2(L为扇形的弧长)。
7、圆锥底面半径 r=nR/360(r为底面半径)(n为圆心角)。
于无穷多个小扇形面积的和,所以在最后一个式子中,各段小弧相加就是圆的周长2πR,所以有S=πr²。
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