？？？你说的是这个吗？
a>0 , b>0 , 2/(1/a + 1/b) <= 根号ab <= (a+b)/2 <= 根号(a^2+b^2)/2
调和平均数小于等于几何平均数小于等于算术平均数小于等于（这个平均数叫什么忘了，第一个的名字不太确定）
这是高二上的数学的一个练习题，到时候你们就会证了，现在也可以翻翻书。
如果我说的是你找的公式的话，那么中间的几何平均数小于算术平均数的式子 叫 “重要不等式”，证明我知道有一种：(根号a-根号b)^2 >= 0,展开即可
oh my god好头疼啊，我这个也不太清楚，不好意思啊，我也是个小高中生而已啊~~~~~但是听说一个大数学家已经证出来了。咱们教材上只证到三个的,我也给忘了。我们老师教证两个的时候有一种方法是画图。因为以a+b为直径做圆，半径就是算术平均数，而从a和b连接处做的垂线就是几何平均数。我在想是不是如果扩展到n的话就是到n维坐标系就行啊？？下面我有查到柯西不等式的证明方法。
你会了email一下我啊，我也想知道。
柯西不等式的证明及应用
（河西学院数学系01（2）班 甘肃张掖 734000）
摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。
关键词：柯西不等式 证明 应用
中图分类号： O178
Identification and application of Cauchy inequality
Chen Bo
（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）
Abstract: Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides several examples.
Keyword：inequation prove application
柯西（Cauchy）不等式
等号当且仅当 或 时成立（k为常数， ）现将它的证明介绍如下：
证明1：构造二次函数
=
恒成立
即
当且仅当 即 时等号成立
证明（2）数学归纳法
（1）当 时 左式= 右式=
显然 左式=右式
当 时， 右式 右式
仅当即 即 时等号成立
故 时 不等式成立
（2）假设 时，不等式成立
即
当 ，k为常数， 或 时等号成立
设
则
当 ，k为常数， 或 时等号成立
即 时不等式成立
综合（1）（2）可知不等式成立
柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明相关命题
例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。
已知点 及直线
设点p是直线 上的任意一点， 则
（1）
（2）
点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离，求（2）式有最小值，有
由（1）（2）得：
即
（3）
当且仅当
（3）式取等号 即点到直线的距离公式
即
2） 证明不等式
例2 已知正数 满足 证明
证明：利用柯西不等式
又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上 得：
故
3） 解三角形的相关问题
例3 设 是 内的一点， 是 到三边 的距离， 是 外接圆的半径，证明
证明：由柯西不等式得，
记 为 的面积，则
故不等式成立。
4） 求最值
例4 已知实数 满足 ， 试求 的最值
解：由柯西不等式得，有
即
由条件可得，
解得， 当且仅当 时等号成立，
代入 时，
时
5）利用柯西不等式解方程
例5．在实数集内解方程
解：由柯西不等式，得
①
又
即不等式①中只有等号成立
从而由柯西不等式中等号成立的条件，得
它与 联立，可得
6）用柯西不等式解释样本线性相关系数
在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数 ，并指出 且 越接近于1，相关程度越大， 越接近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。
现记 ， ，则，
，由柯西不等式有，
当 时，
此时， ， 为常数。点 均在直线
上，
当 时，
即
而
为常数。
此时，此时， ， 为常数
点 均在直线 附近，所以 越接近于1，相关程度越大
当 时， 不具备上述特征，从而，找不到合适的常数 ，使得点 都在直线 附近。所以， 越接近于0，则相关程度越小。
致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。
参考文献： 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期
柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社
普通高中解析几何 高等教育出版社
1990-年全国统一考试 数学试卷
李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社
盛聚，谢式千，潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版
用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004年第七期
2004年6月
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