设f为定义在（a，+∞）上的函数，在每一有限区间（a，b）上有界，且limx→+∞[f（x+1）-f（x）]=A，证明l

Question

设f为定义在（a，+∞）上的函数，在每一有限区间（a，b）上有界，且limx→+∞[f（x+1）-f（x）]=A，证明limx→+∞f(x)x=A．

Answer 1

证明：由

lim

x→+∞

[f(x+1)?f(x)]＝A，知，
对任意ε＞0，存在M＞a，当x≥M时，有-ε＜[f（x+1）-f（x）]-A＜ε，
于是有-nε＜[f（x+n）-f（x）]-nA＜nε，（n=1，2，…）；
∴?ε＜

f(x+n)?f(x)

n

?A＜ε，
∴?ε＜

f(y)?f(y?[y?x])

[y?x]

?A＜ε，
又

f(y)

y

＝

[y?x]

y

f(y)?f(y?[y?x])

[y?x]

+

f(y?[y?x])

y

，
∴

lim

y→+∞

f(y)

y

=

lim

y→+∞

[y?x]

y

f(y)?f(y?[y?x])

[y?x]

+

lim

y→+∞

f(y?[y?x])

y

而在每一有限区间（a，b）上有界，因此

lim

y→+∞

f(y?[y?x])

y

＝0
且

lim

x→+∞

[f（x+1）-f（x）]=A，得

[y?x]

y

f(y)?f(y?[y?x])

[y?x]

＝A
∴

lim

y→+∞

f(y)

y

=A
即

lim

x→+∞

f(x)

x

=A