求幂级数∑(∞,n=1)nx^(n-1)的收敛域及和函数

Question

如题所述

Answer 1

^令an=nx^n 由a(n)/a(n-1)=[n/(n-1)]*x<1可得

|x|<1 所以收敛域为：zhi|x|<1

Sn=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n

xSn=1x^2+2x^3+3x^4+...+nx^(n+1)

(1-x)Sn=x+x^2+....+x^n-nx^(n+1)

Sn=(x-x^(n+1)))/(1-x)^2-nx^(n+1)/(1-x)

S=(x-0)/(1-x)^2-0/(1-x)=x/(1-x)^2

即和函数S=x/(1-x)^2

扩展资料：

幂级数的应用：

逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

收敛域上的每一个数x，函数项级数（1）都是一个收敛的常数项级数，因而有一确定的和。因此，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

参考资料来源：百度百科-幂级数

Answer 2

如图根据公式求出收敛半径，讨论端点确定收敛域，再用求积求导法求出和函数。

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Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

Answer 5

s(x)=Σnx^(n-1)，两边积分
∫(0,x)s(x)dx=Σ∫(0,x)nx^(n-1)dx=x^n=1/(1-x)，麦克劳林公式，两边求导
s(x)=1/(1-x)^2.