什么是代数函数，什么是超越函数

Question

如题所述

Answer 1

超越函数 (Transcendental Functions) 变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。
补充
在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分.

Answer 2

超越函数自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数代数函数是指包含加、减、乘、除和开方等基本算符的数学函数。非代数函数则被称为超越函数。本回答被提问者采纳

Answer 3

粗略一点讲, 如果一个函数 y=f(x) 满足一个非零多项式
a_n(x) y^n + a_{n-1}(x) y^{n-1} + ... + a_1(x) y + a_0(x) = 0
其中每个 a_k(x) 都是 x 的多项式, 那么 f 就是一个代数函数.
如果 y 无法满足任何上述形式的多项式, 那么 f 就是超越函数.
当然一般来讲对多项式的系数的范围也会有些要求, 得看具体的代数系统.

注意: "代数"这个术语可不仅仅是有限次四则运算和开方那么简单, 高次方程求根一般来讲上述几种运算是不够的.本回答被网友采纳