用对数求导法求多个函数乘积的导数的例题

Question

如题所述

Answer 1

y=[x(1-x)(1-x)]/[(1+x)(1+x)(1+x)]=(x^3-2x^2+x)/(x^3+3x^2+3x+1)
方法一
y'=[(3x^2-4x+1)(x^3+3x^2+3x+1)-(x^3-2x^2+x)(3x^2+6x+3)]/(x^3+3x^2+3x+1)^2
=[(3x^2-4x+1)(x+1)^3-2x(x-1)^2(x+1)^2]/(x+1)^6
=(x^3+3x^2-5x+1)/(x+1)^4
方法二
设lny=ln{[x(1-x)(1-x)]/[(1+x)(1+x)(1+x)]}
=ln[x(1-x)(1-x)]-ln[(1+x)(1+x)(1+x)]
当0<x<1时
lny=lnx+ln(1-x)+ln(1-x)-ln(1+x)-ln(1+x)-ln(1+x)
等式两边取对数。
(1/y)y'=1/x-1/(1-x)-1/(1-x)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)
y'=y[1/x-1/(1-x)-1/(1-x)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)]
=[x(1-x)(1-x)]/[(1+x)(1+x)(1+x)][1/x-1/(1-x)-1/(1-x)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)]
当x>1时
lny=lnx+ln(x-1)+ln(x-1)-ln(1+x)-ln(1+x)-ln(1+x)
(1/y)y'=1/x+1/(x-1)+1/(x-1)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)
y'=y[1/x+1/(x-1)+1/(x-1)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)]
=y[1/x+1/(x-1)+1/(x-1)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)]
=[x(1-x)(1-x)]/[(1+x)(1+x)(1+x)][1/x+1/(x-1)+1/(x-1)-1/(1+x)-1/(1+x)-1/(1+x)]
在定义域内，结果是相同的。