如何证明样本方差的期望等于总体方差

Question

D（X/n） n提出来不是（1/n^2）D（X）吗

Answer 1

设总体为X，抽取n个i.i.d.的样本X1，X2，...，Xn，其样本均值为Y
=
(X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为S
=(
(Y-X1)^2
+
(Y-X2)^2
+
...
+
(Y-Xn)^2
)
/
(n-1)
为了记号方便，我们只看S的分子部分，设为A
则
E
A
=E(
n
*
Y^2
-
2
*
Y
*
(X1+X2+...+Xn)
+
(X1^2
+
X2^2
+...+
Xn^2))
=E(
(X1^2
+
X2^2
+...+
Xn^2)
-
n
*
Y^2
)
注意
EX1
=
EX2
=
...
=
EXn
=
EY
=
EX;
VarX1
=
VarX2
=
...
=
VarXn
=
VarX
=
E(X^2)
-
(EX)^2
VarY
=
VarX
/
n
(这条不是明显的，但是可以展开后很容易地证出来，而且也算是一个常识性的结论）
所以E
A
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
*
(VarY
+
(EY)^2)
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
*
(VarX/n
+
(EX)^2)
=
(n-1)
VarX
所以
E
S
=
VarX；得证。
扩展资料：
在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值，公式中的E是期望值expected
value的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。
平方根是一个凹函数，因此引入负偏差（由Jensen不等式），这取决于分布，因此校正样本标准偏差（使用贝塞尔校正）有偏差。
标准偏差的无偏估计是一个技术上涉及的问题，尽管对于使用术语n-1.5的正态分布，形成无偏估计。
研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E（X）的偏离程度。但由于上式带有绝对值，运算不方便，通常用量E[（X-E[X]）2]
这一数字特征就是方差。
参考资料来源：搜狗百科--方差

Answer 2

设总体为X,抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为 Y = (X1+X2+...+Xn)/n 其样本方差为S =( (Y-X1)^2 + (Y-X2)^2 + ...+ (Y-Xn)^2 ) / (n-1)为了记号方便,我们只看S的分子部分,设为A则 E A =E( n * Y^2 - 2 * Y * (X1+X2+...+Xn) + (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2))=E( (X1^2 + X2^2 +...+ Xn^2) - n * Y^2 )注意 EX1 = EX2 = ...= EXn = EY = EX;VarX1 = VarX2 = ...= VarXn = VarX = E(X^2) - (EX)^2VarY = VarX / n (这条不是明显的,但是可以展开后很容易地证出来,而且也算是一个常识性的结论）所以E A = n(VarX + (EX)^2) - n * (VarY + (EY)^2)= n(VarX + (EX)^2) - n * (VarX/n + (EX)^2)= (n-1) VarX所以 E S = VarX;得证.本回答被网友采纳