极坐标弧长积分相关，ds=√(r(θ)^2+r'(θ)^2)dθ这个式子是怎么推导出的？

Question

如题所述

Answer 1

直角坐标与极坐标的关系x＝r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ

dx/dθ＝r'(θ)cosθ－r(θ)sinθ

dy/dθ＝r'(θ)sinθ＋r(θ)cosθ

(dx/dθ)^2＋(dy/dθ)^2＝[r'(θ)]^2＋[r(θ)]^2

ds=√[(dx)²+(dy)²]=√[(dx/dθ)²+(dy/dθ)²]dθ＝√((r'(θ))^2＋(r(θ))^2)dθ

应用

开普勒第一定律：太阳系中的所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律：极坐标提供了一个表达开普勒行星运行定律的自然数的方法。开普勒第一定律，认为环绕一颗恒星运行的行星轨道形成了一个椭圆，这个椭圆的一个焦点在质心上。上面所给出的二次曲线部分的等式可用于表达这个椭圆。

Answer 2

解题过程如下：

ds＝√((rdθ)²＋(dr)²)

＝√((rdθ)²＋(dr/dθ)²(dθ)²)

＝√(r²＋(dr/dθ)²) dθ

＝√(r²＋r'²) dθ

弧长计算公式是一个数学公式，为L=n× π× r/180，L=α× r。其中n是圆心角度数（角度制），r是半径，L是圆心角弧长，α是圆心角度数（弧度制）。

弧长公式：

l = n（圆心角）× π（圆周率）× r（半径）/180=α(圆心角弧度数)× r（半径）

在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°（l=n°x2πr/360°)。

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Answer 3

极坐标下的曲线r(θ)如上图。
所求ds用图中三角形斜边代替，
三角形近似为直角三角形。
有：
ds＝√((rdθ)²＋(dr)²)
＝√((rdθ)²＋(dr/dθ)²(dθ)²)
＝√(r²＋(dr/dθ)²) dθ
＝√(r²＋r'²) dθ

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Answer 4

直角坐标与极坐标的关系x＝r(θ)cosθ，y=r(θ)sinθ
dx/dθ＝r'(θ)cosθ－r(θ)sinθ
dy/dθ＝r'(θ)sinθ＋r(θ)cosθ
(dx/dθ)^2＋(dy/dθ)^2＝[r'(θ)]^2＋[r(θ)]^2
ds=√[(dx)²+(dy)²]=√[(dx/dθ)²+(dy/dθ)²]dθ＝√((r'(θ))^2＋(r(θ))^2)dθ