牛顿迭代公式是一种求解非线性方程的常用方法，其收敛性可以通过以下两种方式证明：
利用收敛定理证明
牛顿迭代公式的收敛性可以通过收敛定理来证明。其中，最常用的是不动点定理和收敛阶定理。
不动点定理：如果一个函数f(x)在区间[a,b]上连续且满足f(x)∈[a,b]，那么方程f(x)=x在[a,b]上至少有一个实根。
收敛阶定理：如果牛顿迭代公式的导数f'(x)在区间[a,b]上连续且满足|f'(x)|≤M，且在根附近f(x)的二阶导数f''(x)存在且不为0，则牛顿迭代公式的收敛阶为2，即每次迭代误差的平方与上一次误差成正比。
利用误差估计证明
另一种证明牛顿迭代公式收敛的方法是通过误差估计来证明。具体来说，可以使用泰勒公式展开f(x)和f(x+Δx)的差值，然后将牛顿迭代公式代入，得到误差项。根据误差项的大小和收敛条件，可以证明牛顿迭代公式的收敛性。