求椭圆抛物面+y=x^2+的任意方向的法曲率及主曲率

Question

如题所述

Answer 1

对于椭圆抛物面 y = x^2+，我们可以通过求解曲率相关的一阶和二阶导数来计算其法曲率和主曲率。
首先，我们需要计算曲线的参数方程。令 x = t，那么 y = t^2+。因此，我们可以得到参数表示的方程为 (x, y) = (t, t^2+)。
接下来，我们可以计算一阶导数 dy/dx 和二阶导数 d^2y/dx^2。
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (2t)/(1) = 2t
d^2y/dx^2 = d/dx(2t) = 2
一阶导数的平方和二阶导数之和为曲率的平方，即 k^2 = (dy/dx)^2 + 1 = 4t^2 + 1。从而法曲率 k = sqrt(4t^2 + 1)。
主曲率可以通过计算二阶导数 dy/dx 和一阶导数 d^2y/dx^2 的比值来求得。
主曲率 K = |(d^2y/dx^2)/(dy/dx)| = |2/(2t)| = 1/|t|。
因此，椭圆抛物面+y=x^2+的任意方向的法曲率为 k = sqrt(4t^2 + 1)，主曲率为 K = 1/|t|。这里的 t 是参数表示中的参数。