圆锥曲线定点定值问题方法总结

Question

如题所述

Answer 1

圆锥曲线定点定值问题方法总结如下：

一、单条直线与曲线相交的定值问题

题目特点：单条直线与圆锥曲线交于两点，同时题目中还会给出一个等量关系，结合题目所求算出定值。

例题：已知椭圆C：，且过点A(2，1)，若不经过A的直线L：y=kx+m与C交于P、Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值。

解题步骤：

1. 设直线方程，设直线方程时，首先应该考虑直线k不存在的情况。在讨论k存在的时候，设直线方程时，如果题目中没有给出直线的任何信息，则直线的方程用斜截式设为：y=kx+m。

2. 直线与圆锥曲线联立方程，应用韦达定理，应用韦达定理算出“x1+x2”与“x1x2”。

3. 根据题目所给出的关系列出等式，结合韦达定理，算出k与m的关系式，结合韦达定理时，经常会出现y1+y2，y1y2，x1y2或x2y1的式子，这时需要用y1=kx1+m跟y2=kx2+m这两个等式将含y1，y2的式子全部用x1和x2来表示。

4. 得到k与m的关系式，结合题目所求，整理化简，求出定值

二、相交弦的定值问题

题目特点：从已知公共点或者公共直线上引两条直线，这两条直线分别与圆锥曲线交于两个未知点，根据题目所求式子，并结合韦达定理，确定定值。

例题：已知椭圆C：，已知点P(-2,t)，Q(-2,-t)在椭圆C上，点A、B是椭圆C上不同于P、Q的两个动点,且满足：∠APQ=∠BPQ。问：直线AB的斜率是否为定值？请说明理由。