如何计算双曲函数的导函数？

Question

如题所述

Answer 1

双曲函数是一类特殊的数学函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。与常见的三角函数不同，双曲函数在实数域上没有定义，但在复数域上有明确的表达式。
要计算双曲函数的导函数，我们可以使用链式法则和复合函数的求导法则。首先，我们需要知道双曲函数的基本形式：
1. 双曲正弦函数：sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2
2. 双曲余弦函数：cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2
3. 双曲正切函数：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)
接下来，我们分别计算这些函数的导数。
1. 双曲正弦函数的导数：
对于sinh(x)，我们可以使用链式法则和乘法法则求导。根据链式法则，我们有：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，u = e^x。因此，我们可以将sinh(x)表示为u的函数：sinh(x) = (e^x - e^-x) / 2。然后，我们对u求导得到du/dx = e^x。将这个结果代入链式法则的公式中，我们得到：
dy/dx = (e^x - e^-x)' / 2 = (e^x + e^-x) / 2
所以，双曲正弦函数的导数为：
dy/dx = sinh(x) + cosh(x)
2. 双曲余弦函数的导数：
对于cosh(x)，我们可以使用链式法则和乘法法则求导。根据链式法则，我们有：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，u = e^x。因此，我们可以将cosh(x)表示为u的函数：cosh(x) = (e^x + e^-x) / 2。然后，我们对u求导得到du/dx = e^x。将这个结果代入链式法则的公式中，我们得到：
dy/dx = (e^x + e^-x)' / 2 = (e^x - e^-x) / 2
所以，双曲余弦函数的导数为：
dy/dx = sinh(x) - cosh(x)
3. 双曲正切函数的导数：
对于tanh(x)，我们可以使用链式法则和除法法则求导。根据链式法则，我们有：
dy/dx = dy/du * du/dx
其中，u = sinh(x)。因此，我们可以将tanh(x)表示为u的函数：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)。然后，我们对u求导得到du/dx = cosh(x)。将这个结果代入链式法则的公式中，我们得到：
dy/dx = (sinh(x))' * cosh(x) - sinh(x) * (cosh(x))'
由于sinh(x)和cosh(x)都是关于u的线性函数，我们可以将它们分别表示为u的形式：sinh(x) = u - u^3 / 3! 和 cosh(x) = u + u^3 / 3!。将这些结果代入上述公式中，我们得到：
dy/dx = (u - u^3 / 3!)' * (u + u^3 / 3!) - (u - u^3 / 3!) * (u + u^3 / 3!)'
化简后，我们得到：
dy/dx = u + u^3 / 3! - u + u^3 / 3! - u + u^3 / 3! + u^5 / 5!
所以，双曲正切函数的导数为：
dy/dx = tanh(x) + tanh^3(x) / 3! - tanh(x) + tanh^5(x) / 5!
综上所述，我们得到了双曲函数的导数计算公式：
- sinh(x)的导数为sinh(x) + cosh(x)
- cosh(x)的导数为sinh(x) - cosh(x)
- tanh(x)的导数为tanh(x) + tanh^3(x) / 3! - tanh(x) + tanh^5(x) / 5!