这道题的增广矩阵怎么化成行阶梯形？

Question

如题所述

Answer 1

首先，对于一个非齐次线性方程组，它的解可以分为两个部分：其一是其对应的齐次线性方程组的解，其二是它的一个特解。而对于一个非齐次线性方程组有解的条件是其对应的齐次线性方程组有非零解。
根据题目中给出的非齐次线性方程组，可以列出其对应的齐次线性方程组：
\begin{cases} 2x - Ax - 3x = 0 \ ax + (a-1)x + sx = 0 \ 3(A+1)x + ax + (A+3)x = 0 \end{cases}
将其写成增广矩阵形式并对其进行初等行变换，可以得到：
\begin{pmatrix} -A-1 & 2 & -3 \ a-1 & a+s & 0 \ A+3 & a & A+1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{A+1} & \frac{3}{A+1} \ 0 & a+s-\frac{(a-1)2}{A+1} & -\frac{3(a-1)}{A+1} \ 0 & \frac{Aa+3A+3a-3}{A+1} & \frac{Aa+3A-3a+3}{A+1} \end{pmatrix}
根据上述结论，对于该齐次线性方程组有解的条件是其系数矩阵的行列式不为零。因此，我们需要求出该矩阵的行列式：
\begin{vmatrix} -A-1 & 2 & -3 \ a-1 & a+s & 0 \ A+3 & a & A+1 \end{vmatrix} = (A+1)\left[(A+1)(a+s)-(a-1)2\right] + (A+3)(2a-3) - (a-1)(A+1)a
经过简化后可以得到：
\begin{align*} &(A+1)(Aa+As+a+s-2)-(A+1)a+3(A+1)(2a-3)-(A+1)a^2+a-1 \ =& (A+1)(Aa+As+3a-6) - a^2 - 6a + 5 \end{align*}
(1) 当上式等于零时，齐次方程组有非零解，因此非齐次方程组有无穷多解。此时可以通过高斯消元法求出通解。
对于上式，我们可以将其化简为：
\begin{align*} &(A+1)(Aa+As+3a-6) - a^2 - 6a + 5 = 0 \ =& (A+1)(Aa+As+4a-9) - (a-1)^2 \end{align*}
因此，当 $(A+1)(Aa+As+4a-9) - (a-1)^2 = 0$
非齐次方程组有无穷多解，此时其通解可以表示为其对应齐次方程组的通解加上其一个特解。特解可以通过常数变易法等方法求得。
(2) 当上式不等于零时，齐次方程组只有零解，因此非齐次方程组无解。
(3) 当 $2$ 是上式的根时，齐次方程组有非零解，但其对应的非齐次方程组只有唯一解。此时可以通过高斯消元法求出解向量。
总之，对于该非齐次线性方程组，其有无穷多解的条件是 $(A+1)(Aa+As+4a-9) - (a-1)^2 = 0$，无解的条件是 $(A+1)(Aa+As+4a-9) - (a-1)^2 \neq 0$，有唯一解的条件是 $2$ 是 $(A+1)(Aa+As+4a-9) - (a-1)^2$ 的根。